Evolton
方針
と置く。(1)は初期値 が固定値であればよいので を解く。(2)は , だから、 の解から固定値 を除く。因数分解すると固定値に対応する因子と2周期に対応する2次因子に分かれるので、その2次方程式の実数解の個数を判別式で調べる。端点 の重解は固定値に一致するため除く。(3)は写像 が区間 を に移す条件を求める。
解答
(1)
すべての について となるためには、最初の1回で となればよい。したがって である。よって または、 のとき である。
(2) とおく。条件 は であり、さらに は であることを意味する。
計算すると と因数分解される。ここで は(1)で求めた固定値に対応する。したがって を満たす解は の実数解で、固定値と重ならないものに限られる。 のとき、この式は となり解はない。 のとき、この2次方程式の判別式は である。したがって、 または のときは異なる2つの実数解をもつ。 のときは重解 で、これは固定値である。 のときは重解 で、これも固定値である。 では判別式が負で解はない。以上より、求める個数はである。
(3) のとき である。すべての について が に入るためには、まず が必要である。また とすると なので、 すなわち も必要である。
逆に なら、任意の に対して である。つまり は区間 を再び に移す。したがって、 なら帰納的に が成り立つ。
よって求める の範囲は である。
写像
別解
解法2
方針
を「固定点の因子」と「真の2周期点の因子」に分ける。後者の二次方程式の解を明示し，実数性と固定点との一致を端点で確認する。
解答
(1)
固定点はよりである。
(2)
二回で戻る点については前二因子は固定点であるから，真の2周期点はの解である。 のとき解はよって異なる実数解が二つあるのは では重解 ， では重解 となり，いずれも固定点なので除く。したがって個数は(3)
最後に，すべての から始めて以後も区間内にとどまる条件は より，これはと同値である。
総評
難度7、計算量6。目安時間は24〜30分。写像 の固定値、2回で戻る値、不変区間を順に調べる問題である。(2)では の解には固定値も含まれるため、条件 によって固定値を除く必要がある。判別式の端点 では重解が出るが、どちらも固定値に一致するため個数は0になる。(3)は 上で の最大が であることから、 が必要十分になる。