方針
2つの漸化式を引き，差 dn=an−bn が公比 1−r−s の等比数列になることを使う．初期差は0でないため，極限0の必要十分条件は公比の絶対値が1未満であること．(2)では san+rbn が不変であることを直接確かめ，bn=an−dn と合わせて an を不変量と dn で表す．
解答
(1) 2つの漸化式を引くとan+1−bn+1=(1−r)an+rbn−san−(1−s)bn=(1−r−s)(an−bn).したがってan−bn=(1−r−s)n−1(α−β).α=β だから，この式が0に収束するための必要十分条件は∣1−r−s∣<1である．よって求める条件は0<r+s<2である．
(2) (1)の条件のもとでは r+s=0 である．またsan+1+rbn+1=s{(1−r)an+rbn}+r{san+(1−s)bn}=san+rbn.したがってsan+rbn=sα+rβは n によらず一定である．dn=an−bn とおくと bn=an−dn だから(r+s)an−rdn=sα+rβ.よってan=r+ssα+rβ+rdn.(1)より dn→0 なのでn→∞liman=r+ssα+rβ.
別解
解法2
方針
漸化式の行列の2つの固有方向 (1,1) と (r,−s) を使い，初期ベクトルをその和に分解する．各成分の一般項を直接書けば，差の収束条件と共通極限が同時に読める．
解答
(1)
漸化式の行列をM=(1−rsr1−s)とおく．M(11)=(11),M(r−s)=(1−r−s)(r−s)である．
an−bn→0 なら，後で得る条件から r+s=0 である．初期ベクトルは(αβ)=r+ssα+rβ(11)+r+sα−β(r−s)と分解できる．したがって(anbn)=r+ssα+rβ(11)+r+sα−β(1−r−s)n−1(r−s).特にan−bn=(α−β)(1−r−s)n−1である．α=β だから，これが0に収束するための必要十分条件は∣1−r−s∣<1すなわち0<r+s<2である．
(2)
この条件のもとでは (1−r−s)n−1→0 なので，一般項から直ちにn→∞liman=r+ssα+rβを得る．
総評
難度5，計算量4，目安時間15分．差 an−bn は公比 1−r−s の等比数列であり，α=β によって ∣1−r−s∣<1 が必要十分条件になる．共通極限を出すには差の収束だけでは足りず，不変量 san+rbn または2つの固有方向から一般項を決める必要がある．
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出典: 大阪大学 2009年度 後期 理系 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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