大阪大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$$f(x)=x^3-3ax+a=x^3+a(1-3x)$$ である。まず $$x={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ では $$f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{27}}>0$$ であり，$a$ によらず条件を満たす。 $$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ では $1-3x>0$ であるから，$f(x)\geqq 0$ は $$a\geqq -{\displaystyle \frac{x^3}{1-3x}}$$ と同値である。右辺を $$g(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{1-3x}}$$ とおくと，$$0<x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ で$$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-3x^2(1-3x)-3x^3}{(1-3x{)}^2}}={\displaystyle \frac{-3x^2+6x^3}{(1-3x{)}^2}}={\displaystyle \frac{3x^2(2x-1)}{(1-3x{)}^2}}<0$$である。したがって $g(x)$ は $[0,{\displaystyle \frac{1}{3}})$ で最大値 $g(0)=0$ をとる。よってこの範囲から必要十分な条件は $a\geqq 0$ である。

次に $${\displaystyle \frac{1}{3}}<x\leqq 1$$ では $1-3x<0$ であるから，$f(x)\geqq 0$ は $$a\leqq {\displaystyle \frac{x^3}{3x-1}}$$ と同値である。右辺を $$h(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3x-1}}$$ とおくと，$$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3x^2(3x-1)-3x^3}{(3x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{3x^2(2x-1)}{(3x-1{)}^2}}$$ である。したがって $h(x)$ は $${\displaystyle \frac{1}{3}}<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ で減少し，$${\displaystyle \frac{1}{2}}<x\leqq 1$$ で増加する。最小値は $$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のときで，$$h\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。よってこの範囲から必要十分な条件は $a\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

以上より，$0\leqq x\leqq 1$ のすべてで $f(x)\geqq 0$ となるための $a$ の範囲は $0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

$a$ の係数 $1-3x$ の符号が変わる点で場合分けする．