大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $x=t+u$ とおく。このとき $2t-x=t-u$ である。したがって2曲線の $y$ 座標の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(t+u)-f(t-u)}& {\displaystyle =((t+u{)}^3-(t+u))-((t-u{)}^3-(t-u))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6t^{2}u+2u^3-2u}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2u(3t^2+u^2-1)}\end{array}$$である。

交点はこの差が0になる点なので $2u(3t^2+u^2-1)=0$ を満たす。したがって $u=0$ または $u^2=1-3t^2$ である。3つの異なる交点をもつためには $1-3t^2>0$ でなければならない。よって $$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<t<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。

(2)

(1) の範囲で $$h=\sqrt{1-3t^2}$$ とおく。交点に対応する $u$ は $-h,0,h$ である。$0<u<h$ では $3t^2+u^2-1=u^2-h^2<0$ だから $$f(t+u)-f(t-u)=2u(u^2-h^2)<0$$ である。したがってこの区間では $C_2$ が $C_1$ より上にある。

対称性により，囲まれた2つの部分の面積は等しい。よって面積の和 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^h\{f(t-u)-f(t+u)\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{h}2u(h^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{[{\displaystyle \frac{h^2{u}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{u^4}{4}}]}_0^h}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =h^4}\end{array}$$である。すなわち $S=(1-3t^2{)}^2$ である。

ここで $$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<t<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ において $1-3t^2$ は $t=0$ で最大値1をとる。したがって $S\leqq 1$ であり，等号は $t=0$ のとき成り立つ。よって求める最大値は $1$ である。

対称軸からの距離 $u$ を使うと，3交点と2領域が同時に見える。