大阪大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第5問

(1) 極値の並びと他に極値がないことから、$f$ は$$(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{1}{4}})\text{ で増加},({\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{ で減少},({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})\text{ で増加},({\displaystyle \frac{3}{4}},\mathrm{\infty })\text{ で減少}$$する。指定された値と極限を通る概形は次の通りである。
$f$ とその積分 $F$ の概形

(2) 単調性と値から、$f(x)=0$ は $${\displaystyle \frac{1}{4}}<\alpha <{\displaystyle \frac{1}{2}}$$、$${\displaystyle \frac{1}{2}}<\beta <{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ にそれぞれ1つある。$F^{\mathrm{\prime }}=f$ だから $F$ は $[0,\alpha ]$ で増加、$[\alpha ,\beta ]$ で減少、$[\beta ,1]$ で増加する。また $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}$ だから、凹凸は $$x={\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ で順に変わる。したがって概形は次のようになる。

(3) 微積分学の基本定理から$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x),F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$$$x={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ は微分可能な $f$ の極大点なので $$f^{\mathrm{\prime }}({\displaystyle \frac{1}{4}})=0$$ である。したがって$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)=0.$$