大阪大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $2^2<6<2^3$ より $2<{\log }_{2}6<3$ である。与式は $${\log }_{2}6=m+{\displaystyle \frac{1}{n+a}}$$ で，$n$ は自然数，$0<a<1$ だから $n+a>1$ であり，$$0<{\displaystyle \frac{1}{n+a}}<1$$ である。したがって $m$ は ${\log }_{2}6$ の整数部分であり，$m=2$ である。

このとき $${\displaystyle \frac{1}{n+a}}={\log }_{2}6-2={\log }_2{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ だから $$n+a={\displaystyle \frac{1}{{\log }_2({\displaystyle \frac{3}{2}})}}$$ である。ここで $${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^1<2,{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9}{4}}>2$$ より $${\log }_2{\displaystyle \frac{3}{2}}<1,{\log }_2{\displaystyle \frac{3}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。したがって $$1<{\displaystyle \frac{1}{{\log }_2({\displaystyle \frac{3}{2}})}}<2$$ となる。$0<a<1$ で $n$ は自然数なので $n=1$ である。

(2)
(1)より $$a={\displaystyle \frac{1}{{\log }_2({\displaystyle \frac{3}{2}})}}-1$$ である。$$a>{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ は $${\displaystyle \frac{1}{{\log }_2({\displaystyle \frac{3}{2}})}}>{\displaystyle \frac{5}{3}}$$ と同値であり，$${\log }_2({\displaystyle \frac{3}{2}})>0$$ だから ${\log }_2{\displaystyle \frac{3}{2}}<{\displaystyle \frac{3}{5}}$ と同値である。これはさらに $${\displaystyle \frac{3}{2}}<2^{{\displaystyle \frac{3}{5}}}$$ すなわち $${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^5<2^3$$ と同値である。実際に $${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^5={\displaystyle \frac{243}{32}},2^3=8={\displaystyle \frac{256}{32}}$$ であるから $${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^5<2^3$$ が成り立つ。よって $a>{\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。