大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第1問

直線と曲線の交点では $2x^3+x^2-3=mx$ が成り立つ。ここで $x=0$ を代入すると左辺は $-3$、右辺は $0$ となるため、$x=0$ は交点の $x$ 座標ではない。したがって $x\mathrm{\ne }0$ として割ることができ、$$m={\displaystyle \frac{2x^3+x^2-3}{x}}=2x^2+x-{\displaystyle \frac{3}{x}}$$ である。

右辺を $$\phi (x)=2x^2+x-{\displaystyle \frac{3}{x}}(x\mathrm{\ne }0)$$ とおく。すると $${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=4x+1+{\displaystyle \frac{3}{x^2}}={\displaystyle \frac{(x+1)(4x^2-3x+3)}{x^2}}$$ である。$4x^2-3x+3$ の判別式は $$(-3{)}^2-4\cdot 4\cdot 3=-39<0$$ であり、先頭係数が正なので常に正である。したがって ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x+1$ の符号だけで決まる。

よって $\phi (x)$ は $x<-1$ で減少し、$-1<x<0$ および $0<x$ で増加する。また$$\phi (-1)=4,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\phi (x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to -0}{\lim }\phi (x)=\mathrm{\infty },$$$$\underset{x\to +0}{\lim }\phi (x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\phi (x)=\mathrm{\infty }$$である。

したがって、$x<0$ では $m>4$ のときに2個、$m=4$ のときに1個、$m<4$ のときに0個の解をもつ。一方、$x>0$ では任意の実数 $m$ に対して1個の解をもつ。相異なる3点で交わるには、負の側で2点、正の側で1点が必要なので、求める範囲は $m>4$ である。

傾き関数の2つの枝

$g_m(x)=f(x)-mx$ とおき，三次関数が相異なる3零点をもつための極大値・極小値の符号を調べる．最後に中間値の定理で十分性まで確認する．

三次方程式の増減から判定する。$g_m(x)=f(x)-mx$ とおくと $g_m(x)=2x^3+x^2-mx-3$ である。$g_m(x)=0$ が相異なる3つの実数解をもつには、三次関数の左側の極値が正、右側の極値が負でなければならない。極値をとる点を $r$ とすると $g_m^{\mathrm{\prime }}(r)=6r^2+2r-m=0$ より $m=6r^2+2r$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g_m(r)}& {\displaystyle =2r^3+r^2-(6r^2+2r)r-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4r^3-r^2-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(r+1)(4r^2-3r+3)}\end{array}$$となる。$4r^2-3r+3>0$ だから、左側の極値が正になるには、その位置が $r<-1$ であることが必要である。左側の極値の位置は $$r={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+6m}}{6}}$$ なので、$r<-1$ は $$\sqrt{1+6m}>5$$、すなわち $m>4$ と同値である。

逆に $m>4$ のときは $$g_m(-1)=m-4>0,g_m(0)=-3<0$$ であり、さらに $x\to -\mathrm{\infty }$ で $g_m(x)\to -\mathrm{\infty }$、$x\to \mathrm{\infty }$ で $g_m(x)\to \mathrm{\infty }$ である。よって中間値の定理により $(-\mathrm{\infty },-1)$、$(-1,0)$、$(0,\mathrm{\infty })$ にそれぞれ解が存在する。三次方程式なので解は高々3個であり、相異なる3点で交わる。したがって条件はやはり $m>4$ である。