大阪大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

直線 $l$ が $x$ 軸，$y$ 軸の両方と交わるため，垂直線でも水平線でもない。したがって傾きを $m$ とおけ，さらに水平線でないので $m\mathrm{\ne }0$ である。$A(1,2)$ を通るから $y-2=m(x-1)$ と書ける。 $x$ 軸との交点 $P$ は $y=0$ として $$-2=m(x-1),x=1-{\displaystyle \frac{2}{m}}$$ より $$P=(1-{\displaystyle \frac{2}{m}},0)$$ である。$y$ 軸との交点 $Q$ は $x=0$ として $y-2=-m,y=2-m$ より $Q=(0,2-m)$ である。

ベクトル条件$$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OR}$$から$$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}$$である。したがって $$R=(1-{\displaystyle \frac{2}{m}},0)+(0,2-m)-(1,2)=(-{\displaystyle \frac{2}{m}},-m)$$ である。 $R=(x,y)$ とおくと $x=-{\displaystyle \frac{2}{m}},y=-m$ であるから，$m$ を消去して $$xy=(-{\displaystyle \frac{2}{m}})(-m)=2$$ を得る。逆に任意の $x\mathrm{\ne }0$ に対して $m=-2\mathrm{/}x$ とおけば，上の構成で $R=(x,2\mathrm{/}x)$ が得られる。したがって点 $R$ は関数 $$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}(x\mathrm{\ne }0)$$ のグラフ上にある。

傾き $m\mathrm{\ne }0$ を消去すると $xy=2$ となる．