大阪大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{a}{2}}(1+t^{-2}),{\displaystyle \frac{dy}{dt}}={\displaystyle \frac{b}{2}}(1-t^{-2})$$だから$${\displaystyle \frac{dy\mathrm{/}dt}{dx\mathrm{/}dt}}={\displaystyle \frac{b}{a}}{\displaystyle \frac{t^2-1}{t^2+1}}\mathrm{.}$$一方$${\displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}}={\displaystyle \frac{a}{b}}{\displaystyle \frac{t^2-1}{t^2+1}}$$なので，主張された等式が成り立つ。

(2) $f(t),g(t)$ は$${\displaystyle \frac{g(t{)}^2}{b^2}}-{\displaystyle \frac{f(t{)}^2}{a^2}}=1,g(t)>0$$を満たす。したがって $C$ は双曲線の上側の枝である。$t$ に対応する点での接線は$$-{\displaystyle \frac{f(t)}{a^2}}x+{\displaystyle \frac{g(t)}{b^2}}y=1$$である。これが $P(u,v)$ を通る条件を整理すると$$({\displaystyle \frac{v}{b}}-{\displaystyle \frac{u}{a}})t^2-2t+({\displaystyle \frac{v}{b}}+{\displaystyle \frac{u}{a}})=0$$となる。

この二次方程式が異なる2正根をもつための必要十分条件は$${\displaystyle \frac{v}{b}}-{\displaystyle \frac{u}{a}}>0,{\displaystyle \frac{v}{b}}+{\displaystyle \frac{u}{a}}>0,1-\{{\left({\displaystyle \frac{v}{b}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{u}{a}}\right)}^2\}>0$$である。よって求める領域は$${\displaystyle \frac{b}{a}}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }<v<b\sqrt{1+{\displaystyle \frac{u^2}{a^2}}}\mathrm{.}$$すなわち，2本の漸近線 $v=\pm (b\mathrm{/}a)u$ の上側にあり，双曲線 $C$ より下側にある開領域である。境界は含まない。

(3) 2本の接線に対応する正根を $t_1,t_2$，その傾きを $m_1,m_2$ とする。(1)より$$m_i={\displaystyle \frac{b}{a}}{\displaystyle \frac{t_i^2-1}{t_i^2+1}}\mathrm{.}$$また(2)の二次方程式の根と係数の関係を用いて整理すると$$m_1{m}_2={\displaystyle \frac{v^2-b^2}{u^2+a^2}}\mathrm{.}$$2接線が直交する条件は $m_1{m}_2=-1$ だから$$u^2+v^2=b^2-a^2\mathrm{.}$$この円が(2)の領域内に点をもつための必要十分条件は$$b>a$$である。実際，$b>a$ なら $$u=0,v=\sqrt{b^2-a^2}$$ は(2)の不等式を満たす。逆に円の右辺が正でなければ点は存在しない。

したがって条件は $b>a$ であり，軌跡は円$$u^2+v^2=b^2-a^2$$のうち$$v>{\displaystyle \frac{b}{a}}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$$を満たす上側の弧である。端点は含まれず，その座標は$$(\pm a\sqrt{{\displaystyle \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}}},b\sqrt{{\displaystyle \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}}})$$である。

青い開領域で接線が2本引ける。$b>a$ のとき，紫の円弧だけが残る。