大阪大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $Q=(u,0)$ とおく。$PQ=d$ より$$(u-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t=d^2$$だから$$u=\cos t\pm \sqrt{d^2-{\sin }^{2}t}$$である。ここで$$d^2-{\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t=d^2-1>0$$なので $$\sqrt{d^2-{\sin }^{2}t}>\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }$$ である。したがって正の $x$ 軸上にある解は$$u=\cos t+\sqrt{d^2-{\sin }^{2}t}$$である。$R$ は $P,Q$ の中点だから$$R(\cos t+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{d^2-{\sin }^{2}t},{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin t)$$となる。

(2) $$x(t)=\cos t+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{d^2-{\sin }^{2}t},y(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin t$$とおく。微分すると$$x^{\mathrm{\prime }}(t)=-\sin t-{\displaystyle \frac{\sin t\cos t}{2\sqrt{d^2-{\sin }^{2}t}}}=-\sin t(1+{\displaystyle \frac{\cos t}{2\sqrt{d^2-{\sin }^{2}t}}})\mathrm{.}$$$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ であり，(1)で示した $$\sqrt{d^2-{\sin }^{2}t}>\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }$$ より括弧内は正である。よって $x(t)$ は単調に減少し，曲線は $x$ 軸より上を右から左へ進む。

したがって囲まれる面積を $S$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =-{\int }_0^{\pi }y(t)x^{\mathrm{\prime }}(t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}tdt+{\displaystyle \frac{1}{4}}{\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}t\cos t}{\sqrt{d^2-{\sin }^{2}t}}}dt\mathrm{.}}\end{array}$$第2の被積分関数は $t$ を $\pi -t$ に置き換えると符号だけが反転するので，その積分は0である。また$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}tdt={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$だから$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$よって求める面積は $d$ によらず $\pi \mathrm{/}4$ である。

図は $d=1.8$ の模式図。軌跡は $x$ 軸の上を右から左へ単調に進む。