大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{p}=\overrightarrow{OP},\vec{q}=\overrightarrow{OQ}$$とおく。円 $C$ は中心が $A$，半径が $r=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }$ で，原点 $O$ を通るから，$P$ が $C$ 上にあることは $$\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ と表せる。これを展開すると $$\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{p}\cdot \vec{a}+\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2$$ より $$\vec{p}\cdot \vec{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2}{2}}$$ である。

条件(a)より $\vec{q}$ は $\vec{p}$ と同じ向きであり，条件(b)より $\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{q}\mathrm{\mid }=1$ である。したがって $$\vec{q}={\displaystyle \frac{\vec{p}}{\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2}}$$ である。ゆえに $$\vec{q}\cdot \vec{a}={\displaystyle \frac{\vec{p}\cdot \vec{a}}{\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ となる。

これは，点 $Q$ が $$\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OA}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を満たすことを意味する。この集合は $\overrightarrow{OA}$ に垂直な直線である。よって，点 $Q$ は $\overrightarrow{OA}$ に直交する直線上を動く。

(2) $\overrightarrow{OA}$ の向きを $x$ 軸の正の向きにとる。このとき $A=(r,0)$ であり，円 $C$ は $(x-r{)}^2+y^2=r^2$ である。

(1) で得た直線 $l$ は，$$\overrightarrow{OQ}=(x,y)$$，$$\overrightarrow{OA}=(r,0)$$ として $rx={\displaystyle \frac{1}{2}}$ すなわち $x={\displaystyle \frac{1}{2r}}$ である。

この直線が円 $C$ と2点で交わるためには，円の中心 $(r,0)$ から直線 $x={\displaystyle \frac{1}{2r}}$ までの距離が半径 $r$ より小さければよい。すなわち $$\mid r-{\displaystyle \frac{1}{2r}}\mid <r$$ である。これは $-r<r-{\displaystyle \frac{1}{2r}}<r$ と同値である。右側の不等式は $-{\displaystyle \frac{1}{2r}}<0$ であり，$r>0$ なので常に成り立つ。左側の不等式は $2r>{\displaystyle \frac{1}{2r}}$ すなわち $4r^2>1$ である。$r>0$ より $r>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

同じ半直線上で長さを逆数にすると，円 $C$ は直線 $l$ に移る。

座標軸を $OA$ 方向に取り，点 $P$ を極座標で表す。
円の極方程式と $OP\cdot OQ=1$ を組み合わせて $Q$ の $x$ 座標が一定であることを示す。

(1)
$\overrightarrow{OA}$ の向きを $x$ 軸の正の向きに取ると$$A=(r,0),C:x^2+y^2=2rx$$である。$P\mathrm{\ne }O$ を$$P=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ),\rho >0$$と書く。円の式から$${\rho }^2=2r\rho \cos \theta$$なので$$\rho =2r\cos \theta \mathrm{.}$$条件(a)(b)より$$Q=({\displaystyle \frac{\cos \theta }{\rho }},{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\rho }})\mathrm{.}$$したがって $Q$ の $x$ 座標は$${\displaystyle \frac{\cos \theta }{2r\cos \theta }}={\displaystyle \frac{1}{2r}}$$で一定である。よって軌跡は $OA$ に垂直な直線$$l:x={\displaystyle \frac{1}{2r}}$$である。

(2)
$l$ を円の式へ代入すると$${\left({\displaystyle \frac{1}{2r}}\right)}^2+y^2=1.$$異なる2つの実数 $y$ が存在する条件は$$1-{\displaystyle \frac{1}{4r^2}}>0.$$$r>0$ より$$r>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$を得る。