大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第2問

(1)
$C_1$ の中心を $(0,r)$，半径を $r$ とする。円の下側の弧は$$y=r-\sqrt{r^2-x^2}$$である。原点近くで円が $D$ に含まれるためには$$r-\sqrt{r^2-x^2}\geqq x^2$$が必要である。$t=x^2>0$ として両辺を整理すると，十分小さい $t$ に対して$$(r-t{)}^2\geqq r^2-t,t(t+1-2r)\geqq 0$$が必要だから $r\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

逆に $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ なら$${\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2}\geqq x^2$$が円上の全範囲で成り立つ。したがって$$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

(2)
一般に，下端の高さが $h$，半径が $r$ の円の中心は $(0,h+r)$ である。円周上で $t=x^2$ と置くと，円の下側が放物線以上にある条件は$$h+r-\sqrt{r^2-t}\geqq t\mathrm{.}$$両辺を平方して得られる差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Phi }(t)}& {\displaystyle =(h+r-t{)}^2-(r^2-t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t^2+(1-2h-2r)t+h^2+2hr\mathrm{.}}\end{array}$$半径を増やしていくと，最大の場合には $\mathrm{\Phi }(t)$ が接点で重根をもつ。判別式を0とすると$$(1-2h-2r{)}^2-4(h^2+2hr)=4\{{(r-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-h\}=0.$$上側に積む円では $r>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ だから$$r={\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{h}\mathrm{.}$$$C_n$ の下端は $C_1,\dots ,C_{n-1}$ の直径の和であり，$$h=2b_{n-1}\mathrm{.}$$ゆえに$$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{2b_{n-1}}(n\geqq 2)\mathrm{.}$$(3)$$c_n=\sqrt{2b_n}$$と置く。(2) より $a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+c_{n-1}$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_n^2}& {\displaystyle =2b_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2b_{n-1}+2a_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =c_{n-1}^2+2c_{n-1}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(c_{n-1}+1{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$$c_n>0$ より $c_n=c_{n-1}+1$ である。また$$c_1=\sqrt{2a_1}=1$$だから $c_n=n$，したがって $$b_n={\displaystyle \frac{n^2}{2}}$$ である。よって$${\displaystyle a_n=b_n-b_{n-1}={\displaystyle \frac{2n-1}{2}}}$$を得る。

放物線内に積み上がる最大円

最大円と放物線の接点を $(u,u^2)$ とし，中心が放物線の法線上にあることから半径と下端の高さの関係を作る。その後は $b_n$ を直接帰納して閉じた形を得る。

(1)
下端が $h$，半径が $r$ の円の中心を $(0,h+r)$，放物線との接点を $(u,u^2)$ とする。放物線の接線の傾きは $2u$ だから，中心と接点を結ぶ法線条件より$${\displaystyle \frac{u^2-(h+r)}{u}}=-{\displaystyle \frac{1}{2u}}\mathrm{.}$$したがって$$h+r=u^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$さらに中心と接点の距離が $r$ なので$$r^2=u^2+{(h+r-u^2)}^2=u^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$二式から$$h={(r-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$を得る。

$C_1$ では $h=0$ であり，原点を通る最大円だから $a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$。(2)
$n\geqq 2$ では $h=2b_{n-1}$ であるため$$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{2b_{n-1}}\mathrm{.}$$(3)
ここで$$b_n={\displaystyle \frac{n^2}{2}}$$を帰納法で示す。$n=1$ では成立する。$$b_{n-1}={\displaystyle \frac{(n-1{)}^2}{2}}$$ と仮定すれば$$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+n-1={\displaystyle \frac{2n-1}{2}}$$であり，$$b_n=b_{n-1}+a_n={\displaystyle \frac{(n-1{)}^2+2n-1}{2}}={\displaystyle \frac{n^2}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$a_n={\displaystyle \frac{2n-1}{2}}$$である。