大阪大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 交点では$$\log p={\displaystyle \frac{a}{p^2}}$$だから$$a=p^2\log p\mathrm{.}$$$a>0$ より $p>1$ である。また $x^2\log x$ は $x>1$ で単調に増加するため，この交点は一意である。

(2) $$G(x)=x\log x-x+{\displaystyle \frac{a}{x}}$$とおくと$$G^{\mathrm{\prime }}(x)=\log x-{\displaystyle \frac{a}{x^2}}$$である。

まず $1<p<2$ のとき，$1\leqq x<p$ では $a\mathrm{/}{x}^2>\log x$，$p<x\leqq 2$ では逆になる。したがって$$S=G(1)+G(2)-2G(p)\mathrm{.}$$ここで $a=p^2\log p$ より$$G(1)=-1+a,G(2)=2\log 2-2+{\displaystyle \frac{a}{2}},G(p)=2p\log p-p\mathrm{.}$$よって$$S=2\log 2-3+{\displaystyle \frac{3}{2}}{p}^2\log p-4p\log p+2p(1<p<2)\mathrm{.}$$次に $p\geqq 2$ のとき，区間 $[1,2]$ では常に $a\mathrm{/}{x}^2\geqq \log x$ だから$$S=G(1)-G(2)=1-2\log 2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}^2\log p(p\geqq 2)\mathrm{.}$$(3) $1<p<2$ における式を微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(p)=(3p-4)(\log p+{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$この範囲では $\log p+1\mathrm{/}2>0$ なので，$S$ は $1<p<4\mathrm{/}3$ で減少し，$4\mathrm{/}3<p<2$ で増加する。一方 $p\geqq 2$ では$$S^{\mathrm{\prime }}(p)=p\log p+{\displaystyle \frac{p}{2}}>0$$である。したがって全体の最小は $p=4\mathrm{/}3$ のときである。その値は$$S_{\min }=2\log 2-{\displaystyle \frac{8}{3}}\log {\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$

$1<p<2$ では $x=p$ で上下が入れ替わる。$p\geqq 2$ は別の場合である。