大阪大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }x-3a\mathrm{\mid }-a\mathrm{\mid }=a$ を解く。絶対値の外側を外すと $\mathrm{\mid }x-3a\mathrm{\mid }-a=\pm a$ である。したがって $$\mathrm{\mid }x-3a\mathrm{\mid }=0\text{または}\mathrm{\mid }x-3a\mathrm{\mid }=2a$$ である。$a>0$ より，解は $x=3a,x=3a\pm 2a$ すなわち $x=a,3a,5a$ である。

(2) $u=x-3a$ とおく。このとき $f(x)=\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }-a\mathrm{\mid }$ であり，また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)}& {\displaystyle =-(u+3a{)}^2+6a(u+3a)-5a^2+a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-u^2+4a^2+a\mathrm{.}}\end{array}$$どちらも $u$ の偶関数なので，囲まれる部分は $u=0$ に関して左右対称である。

まず交点を求める。$u\geqq 0$ で考える。$0\leqq u\leqq a$ では $f=a-u$ であり，交点条件は $a-u=a+4a^2-u^2$ すなわち $u^2-u-4a^2=0$ である。この方程式の正の解を $r$ とする。$$r={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1+16a^2}}{2}}$$ であり，$2a-1\leqq 0$ なら明らかに $r>a$ である。$2a-1>0$ のときも$$1+16a^2-(2a-1{)}^2=4a(3a+1)>0$$より $$\sqrt{1+16a^2}>2a-1$$，したがって $r>a$ である。よってこの区間には交点を持たない。 $u\geqq a$ では $f=u-a$ であり，交点条件は $u-a=a+4a^2-u^2$ すなわち $u^2+u-2a-4a^2=0$ である。これは $(u-2a)(u+2a+1)=0$ となるので，$u\geqq 0$ の交点は $u=2a$ である。対称性により，交点は $u=\pm 2a$ である。 $-2a\leqq u\leqq 2a$ では $g\geqq f$ であるから，求める面積 $S$ は$$S=2\{{\int }_0^a(g-f)du+{\int }_a^{2a}(g-f)du\}$$である。$0\leqq u\leqq a$ では $f=a-u$ なので $$g-f=(a+4a^2-u^2)-(a-u)=4a^2-u^2+u\mathrm{.}$$ また $a\leqq u\leqq 2a$ では $f=u-a$ なので $$g-f=(a+4a^2-u^2)-(u-a)=2a+4a^2-u^2-u\mathrm{.}$$ したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2\{{\int }_0^a(4a^2-u^2+u)du+{\int }_a^{2a}(2a+4a^2-u^2-u)du\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\{{[4a^{2}u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}+{\displaystyle \frac{u^2}{2}}]}_0^a+{[(2a+4a^2)u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{u^2}{2}}]}_a^{2a}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a^2(16a+3)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$

図は形を示す模式図。左右対称なので，右半分を $u=a$ で分けて積分する。