大阪大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $\alpha +\gamma =2\beta$ より，3つの根は $\beta$ を中央とする等差数列である。したがって，ある複素数 $d$ を用いて $$\alpha =\beta -d,\gamma =\beta +d$$ と書ける。

解と係数の関係を用いる。$P(x)=x^3+3a{x}^2+3ax+b$ であるから，$$\alpha +\beta +\gamma =-3a,$$ $$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3a,$$ $\alpha \beta \gamma =-b$ である。まず $$\alpha +\beta +\gamma =(\beta -d)+\beta +(\beta +d)=3\beta$$ なので $$3\beta =-3a,\beta =-a$$ である。

次に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha }& {\displaystyle =(\beta -d)\beta +\beta (\beta +d)+(\beta +d)(\beta -d)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3{\beta }^2-d^2}\end{array}$$である。これが $3a$ に等しいから，$\beta =-a$ を代入して $3a^2-d^2=3a$ すなわち $d^2=3a^2-3a=3a(a-1)$ である。

また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \alpha \beta \gamma }& {\displaystyle =(\beta -d)\beta (\beta +d)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\beta ({\beta }^2-d^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-a)\{a^2-(3a^2-3a)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-a)(-2a^2+3a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a^3-3a^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $-b=2a^3-3a^2$ であり，$b=-2a^3+3a^2$ である。

(2) $a$ は実数であるから，中央の根 $\beta =-a$ は実数である。残りの2根 $\beta -d,\beta +d$ がともに実数であるためには，$d$ が実数に取れることが必要十分である。よって $d^2=3a(a-1)\geqq 0$ が条件である。したがって $a\leqq 0\text{または}a\geqq 1$ である。

(3)

(1) で求めた関数は $$f(a)=-2a^3+3a^2=a^2(3-2a)$$ であり，定義域は(2)より $a\leqq 0\text{または}a\geqq 1$ である。

増減を調べると $f^{\mathrm{\prime }}(a)=-6a^2+6a=6a(1-a)$ である。$a<0$ では $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$ なので，$a\leqq 0$ の枝は右へ進むにつれて減少し，$$\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(a)=+\mathrm{\infty },f(0)=0$$ である。

また $a>1$ でも $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$ なので，$a\geqq 1$ の枝も右へ進むにつれて減少し，$$f(1)=1,\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a)=-\mathrm{\infty }$$ である。したがってグラフは，点 $(0,0)$ を含んで左上から下がってくる枝と，点 $(1,1)$ を含んで右下へ下がる枝の2つからなる。$0<a<1$ の部分は定義域に含まれない。

$0<a<1$ の破線部分は，3根がすべて実数という条件を満たさない。

変数を $y=x+a$ と平行移動すると，3つの根の平均 $-a$ が原点へ移る。等差数列をなす3根は $-d,0,d$ となるため，変換後の3次式が $y$ で割り切れる条件から $b$ を直ちに決める。残った2次因子の実数解条件が，そのまま $a$ の範囲を与える。

(1) $y=x+a$ とおき，$x=y-a$ と平行移動して考える。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(y-a)}& {\displaystyle =y^3+3a(1-a)y+2a^3-3a^2+b\mathrm{.}}\end{array}$$根が $\beta =-a$ を中央とする等差数列であることは，$y$ で見た根が $-d,0,d$ になることと同じである。したがって $P(y-a)$ は $y$ で割り切れ，定数項が0でなければならない。よって $2a^3-3a^2+b=0$ から $b=-2a^3+3a^2$ を得る。(2) このとき$$P(y-a)=y\{y^2+3a(1-a)\}$$であるから，3根がすべて実数である条件は $-3a(1-a)=3a(a-1)\geqq 0$ となり，(2)と同じ範囲を得る。

(3) (1)(2)より$$f(a)=-2a^3+3a^2,a\leqq 0\text{ または }a\geqq 1$$である。導関数は $f^{\mathrm{\prime }}(a)=6a(1-a)$ なので，許された2区間ではともに単調減少する。また$$\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(a)=+\mathrm{\infty },f(0)=0,f(1)=1,\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a)=-\mathrm{\infty }$$である。したがって，グラフは点 $(0,0)$ へ下がる左側の枝と，点 $(1,1)$ から右下へ下がる右側の枝からなり，$0<a<1$ の部分は除く。