大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第2問

行列$$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}& -\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\\ \sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}& \cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\end{array}\right)$$の表す変換は，原点を中心に角$\pi \mathrm{/}3$だけ回転し，さらに原点からの距離を$1\mathrm{/}2$倍する変換である．

点$P(16\sqrt{3},16)$について $$OP=\sqrt{(16\sqrt{3}{)}^2+{16}^2}=\sqrt{768+256}=32=2^5$$ であり，また$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{32}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},\sin \theta ={\displaystyle \frac{16}{32}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから，Pの偏角は$\pi \mathrm{/}6$である． $P_1=f(P)$，$P_{n+1}=f(P_n)$なので，$P_n=f^n(P)$である．したがって $$O{P}_n=2^{5-n},\arg P_n={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{n\pi }{3}}$$ となる．

まず$x<0,y<0$となる$n$を調べる．これは$P_n$が第三象限にあることを意味する．偏角 ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{n\pi }{3}}$ を$2\pi$を法として見ると，第三象限に入るのは $${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{n\pi }{3}}\equiv {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ のときである．よって $${\displaystyle \frac{n\pi }{3}}\equiv \pi (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ すなわち $n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ である．

このとき偏角は$7\pi \mathrm{/}6$と同じ向きなので，$r=O{P}_n=2^{5-n}$とおくと$$x=r\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r,y=r\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}r$$である．したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sqrt{3}x+y}& {\displaystyle =\sqrt{3}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r)-{\displaystyle \frac{1}{2}}r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{3}{2}}r-{\displaystyle \frac{1}{2}}r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\cdot 2^{5-n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2^{6-n}}\end{array}$$である．

領域$D_k$の残りの条件 $\sqrt{3}x+y\leqq -2^{-k}$ は，候補$n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$に対して $-2^{6-n}\leqq -2^{-k}$ となる．両辺に$-1$を掛けると不等号が逆向きになり $2^{6-n}\geqq 2^{-k}$ である．底$2$は$1$より大きいので $6-n\geqq -k$ すなわち $n\leqq k+6$ である．

以上より，数えるべき正の整数$n$は $$n=3,9,15,\dots ,n\leqq k+6$$ である．$n=3+6m$とおくと$m$は0以上の整数で $3+6m\leqq k+6$ すなわち $$m\leqq {\displaystyle \frac{k+3}{6}}$$ を満たす．したがって個数は $\lfloor {\displaystyle \frac{k+3}{6}}\rfloor +1$ である．

回転しながら縮小する点列

行列の $n$ 乗を，縮小率 $2^{-n}$ と回転角 $n\pi \mathrm{/}3$ に分けて直接書く．$P_n$ の極座標表示から第3象限に入る添字を $n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ と決め，境界不等式を $n\leqq k+6$ に変えて等差数列の項数を数える．

回転行列を $R_{\theta }$ と書くと$$A={\displaystyle \frac{1}{2}}{R}_{\pi \mathrm{/}3}$$であるから$$A^n=2^{-n}{R}_{n\pi \mathrm{/}3}$$である．点 $P$ は，原点からの距離が $32$，偏角が $\pi \mathrm{/}6$ なので$$P_n=2^{5-n}(\cos {\displaystyle \frac{(2n+1)\pi }{6}},\sin {\displaystyle \frac{(2n+1)\pi }{6}})$$と書ける．

$x<0,y<0$ となるのは偏角が第3象限にあるときである．上の偏角は $\pi \mathrm{/}3$ ずつ進むため，該当するのは$$n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$$だけである．このとき偏角は $7\pi \mathrm{/}6$ と合同であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sqrt{3}x+y}& {\displaystyle =2^{5-n}(\sqrt{3}\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2^{6-n}}\end{array}$$となる．したがって最後の条件は$$-2^{6-n}\leqq -2^{-k}$$すなわち$$n\leqq k+6$$である．

よって数える添字は$$n=3,9,15,\dots ,n\leqq k+6$$である．$n=3+6m$ とおけば$$0\leqq m\leqq {\displaystyle \frac{k+3}{6}}$$だから，個数は$$\lfloor {\displaystyle \frac{k+3}{6}}\rfloor +1$$である．