大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第4問

$$\alpha =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }$$，$$\beta =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }$$とおく．すると$$\overrightarrow{OA}=\alpha \vec{a},\overrightarrow{OB}=\beta \vec{b}$$である．

与えられた条件 $$\vec{a}\cdot \overrightarrow{OP}=-\vec{b}\cdot \overrightarrow{OP}>0$$ から，特に $$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \overrightarrow{OP}=0$$ である．つまり直線OPは$\vec{a}+\vec{b}$に垂直である．

一方，$\vec{a},\vec{b}$はいずれも単位ベクトルなので $$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=1-1=0$$ である．したがって$\vec{a}-\vec{b}$も$\vec{a}+\vec{b}$に垂直である．平面上で同じ直線に垂直な方向は平行だから，直線OPは$\vec{a}-\vec{b}$方向である．

QはAから直線OPに下ろした垂線の足であるから，$\overrightarrow{OQ}$は$$\overrightarrow{OA}=\alpha \vec{a}$$を$\vec{a}-\vec{b}$方向へ正射影したベクトルである．よって$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{\alpha \vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})}{\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}}(\vec{a}-\vec{b})$$である．ここで $$\vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=1-\vec{a}\cdot \vec{b}$$ かつ$$\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=2(1-\vec{a}\cdot \vec{b})$$であるから $$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}(\vec{a}-\vec{b})$$ となる．

またMはABの中点なので$$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})={\displaystyle \frac{1}{2}}(\alpha \vec{a}+\beta \vec{b})$$である．

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{MQ}}& {\displaystyle =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OM}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}(\vec{a}-\vec{b})-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\alpha \vec{a}+\beta \vec{b})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\vec{a}-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\vec{b}-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\vec{a}-{\displaystyle \frac{\beta }{2}}\vec{b}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\vec{b}}\end{array}$$である．したがって$\overrightarrow{MQ}$は$\vec{b}$の実数倍であるから，$\overrightarrow{MQ}\parallel \vec{b}$ である．

(2)

(1) で得た式と$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1$より$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MQ}\mathrm{\mid }=\mid -{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\mid \mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$$である．$$\alpha =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }$$，$$\beta =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }$$であったから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MQ}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid })$$である．

直線 $OP$ を水平に取った配置

直線 $OP$ を $x$ 軸に取る．単位ベクトル $\vec{a},\vec{b}$ は $y$ 軸に関して対称になるため，$\vec{a}=(s,c)$，$\vec{b}=(-s,c)$ と置ける．点 $A,B,Q,M$ の座標を直接計算し，$\overrightarrow{MQ}$ が $\vec{b}$ の実数倍になることを示す．

直線OPを$x$軸に取る座標で考える．OPは$\vec{a}-\vec{b}$方向であり，$\vec{a}+\vec{b}$に垂直なので，単位ベクトル$\vec{a},\vec{b}$は$y$軸に関して対称に $$\vec{a}=(s,c),\vec{b}=(-s,c)$$ と書ける．ただし$s>0$である．このとき $$A=(\alpha s,\alpha c),B=(-\beta s,\beta c)$$ であり，Aから$x$軸に下ろした垂線の足は $Q=(\alpha s,0)$ である．また $$M=({\displaystyle \frac{\alpha s-\beta s}{2}},{\displaystyle \frac{\alpha c+\beta c}{2}})$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{MQ}}& {\displaystyle =(\alpha s-{\displaystyle \frac{(\alpha -\beta )s}{2}},-{\displaystyle \frac{(\alpha +\beta )c}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{(\alpha +\beta )s}{2}},-{\displaystyle \frac{(\alpha +\beta )c}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}(-s,c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\vec{b}}\end{array}$$となり，平行性と長さの主張が同時に従う．

(1)

上式から $\overrightarrow{MQ}$ は $\vec{b}$ の実数倍なので$$\overrightarrow{MQ}\parallel \vec{b}$$である．

(2)

$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1$，$$\alpha =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }$$，$$\beta =\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }$$ より$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MQ}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid })$$である．