大阪大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $p$ 個の因子から、$x_1$ を選ぶ位置を $p_1$ 個、続いて $x_2$ を選ぶ位置を $p_2$ 個というように選ぶ。したがって係数は$${}_p{\mathrm{C}}_{p_1}{}_{p-p_1}{\mathrm{C}}_{p_2}\cdots {}_{p-p_1-\cdots -p_{r-1}}{\mathrm{C}}_{p_r}=\frac{p!}{p_1!p_2!\cdots p_r!}$$である。ただし $0!=1$ とする。

(2) 展開に現れる項のうち、1種類の文字だけを選んでできる項は $x_1^p,x_2^p,\dots ,x_r^p$ であり、いずれも係数は1である。したがって問題の差に残る各単項式は少なくとも2種類の文字を含む。

そのような項では、$p_i>0$ である指数は全て $p$ 未満である。(1)の係数$$\frac{p!}{p_1!p_2!\cdots p_r!}$$において、分子は素因数 $p$ を1個含むが、各 $p_i!$ は素因数 $p$ を含まない。係数は整数だから、この係数は $p$ で割り切れる。よって差に含まれる全ての項の係数が $p$ で割り切れ、差全体も $p$ で割り切れる。

(3) (2)で $x_1=x_2=\cdots =x_r=1$ とすると$$r^p-r$$は $p$ で割り切れる。すなわち $r(r^{p-1}-1)$ は $p$ で割り切れる。$p$ は素数で $r$ は $p$ で割り切れないから、$r$ と $p$ は互いに素である。したがって $r^{p-1}-1$ が $p$ で割り切れる。