大阪大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 球の中心の $y$ 座標は $a\sin \theta$ である。中心からの $y$ 方向の変位を $u$ とすると、その位置で球を $zx$ 平面に平行に切った断面積は $\pi (a^2-u^2)$ である。$S_1$ では $$-a\leqq u\leqq -a\sin \theta$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_1(\theta )}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-a}^{-a\sin \theta }(a^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi a^3(\frac{2}{3}-\sin \theta +\frac{{\sin }^3\theta }{3})\mathrm{.}}\end{array}$$(2) 同様に、$S_2$ の体積は$$\pi a^3(\frac{2}{3}-\cos \theta +\frac{{\cos }^3\theta }{3})$$である。また球の中心と原点の距離は$$\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +a^2{\sin }^2\theta }=a$$で、半径に等しい。実際、$x<0,y<0$ なら$$(x-a\cos \theta {)}^2+(y-a\sin \theta {)}^2+z^2>a^2{\cos }^2\theta +a^2{\sin }^2\theta =a^2$$であるから、そのような点は球の内部に入らない。よって $S_1$ と $S_2$ の内部は重ならない。

球 $S$ の体積は $4\pi a^3\mathrm{/}3$ だから$$V(\theta )=\pi a^3\{\sin \theta +\cos \theta -\frac{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }{3}\}\mathrm{.}$$$s=\sin \theta +\cos \theta$ とおく。$$\sin \theta \cos \theta =(s^2-1)\mathrm{/}2$$ より$${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =s^3-3\sin \theta \cos \theta s=-\frac{1}{2}{s}^3+\frac{3}{2}s\mathrm{.}$$したがって$$V(\theta )=\pi a^3(\frac{s}{2}+\frac{s^3}{6})\mathrm{.}$$$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ では $1<s\leqq \sqrt{2}$ であり、$s\mathrm{/}2+s^3\mathrm{/}6$ は正の $s$ とともに増加する。最大値は $\theta =\pi \mathrm{/}4$、$s=\sqrt{2}$ のときにとり$$\max V(\theta )=\pi a^3(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{6})=\frac{5\sqrt{2}}{6}\pi a^3$$である。

球と2つの切断平面

$xy$ 平面での断面。原点は球面上にあり、橙の2部分の内部は重ならない。

(1) $S_1$ を高さ $a(1-\sin \theta )$ の球冠とみなす。(2) $S_2$ も同様に求め、重なりがないことを確認して球全体から引く。

(1) $S_1$ は半径 $a$、高さ$$h_1=a-a\sin \theta =a(1-\sin \theta )$$の球冠である。半径 $a$、高さ $h$ の球冠の体積は$$\frac{\pi h^2(3a-h)}{3}$$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_1(\theta )}& {\displaystyle =\frac{\pi a^3}{3}(1-\sin \theta {)}^2(2+\sin \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi a^3(\frac{2}{3}-\sin \theta +\frac{{\sin }^3\theta }{3})\mathrm{.}}\end{array}$$(2) 同様に$$\mathrm{vol}(S_2)=\pi a^3(\frac{2}{3}-\cos \theta +\frac{{\cos }^3\theta }{3})\mathrm{.}$$球の中心から原点までの距離は $a$ で、原点は球面上にある。$x<0,y<0$ の点は球の内部に入らないため、$S_1,S_2$ の内部は重ならない。

よって $s=\sin \theta +\cos \theta$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(\theta )}& {\displaystyle =\pi a^3\{\sin \theta +\cos \theta -\frac{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }{3}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi a^3(\frac{s}{2}+\frac{s^3}{6})\mathrm{.}}\end{array}$$$1<s\leqq \sqrt{2}$ で右辺は $s$ とともに増加する。したがって $\theta =\pi \mathrm{/}4$ のとき最大となり$$\max V(\theta )=\frac{5\sqrt{2}}{6}\pi a^3$$である。