大阪大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $a_1=q$ と固定する。条件 $2a_1\leqq a_2\leqq n$ を満たす $a_2$ は $n-2q+1$ 個であり、$1\leqq q\leqq d$ である。ただし、$d$ は $n\mathrm{/}2$ 以下の最大の整数とする。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2(n)}& {\displaystyle =\sum _{q=1}^d(n-2q+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =d(n+1)-d(d+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =d(n-d)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S_2(n)=\{\begin{array}{ll}{q}^2& (n=2q),\\ q(q+1)& (n=2q+1)\end{array}$$である。

(2) 上限を $2n$ から $2n+1$ に変えて新たに加わる3項列を考える。$2a_1\leqq a_2\leqq 2n+1$ かつ $2a_2\leqq a_3\leqq 2n+1$ だから、値 $2n+1$ が現れるとすれば $a_3$ だけである。よって新たな列では $a_3=2n+1$ であり、$a_2\leqq n$ となる。

したがって $(a_1,a_2)$ は、各項が1以上 $n$ 以下で $2a_1\leqq a_2$ を満たす2項列である。その個数は $S_2(n)$ だから$$S_3(2n+1)-S_3(2n)=S_2(n)\mathrm{.}$$よって $j=n$ である。(1)の式から $S_2(q)$ は自然数 $q$ に
ついて狭義単調増加するので、この $j$ は一意である。

(3) $N\geqq 2$ とする。上限を $N-1$ から $N$ に増やして新たに加わる列では $a_3=N$ である。$N\mathrm{/}2$ 以下の最大の整数を $q_N$ とおくと、残る条件は $2a_1\leqq a_2\leqq q_N$ だから$$S_3(N)-S_3(N-1)=S_2(q_N)\mathrm{.}$$(1)より$$\frac{q_N^2-1}{4}\leqq S_2(q_N)\leqq \frac{q_N^2}{4}\mathrm{.}$$また $N\mathrm{/}2-1<q_N\leqq N\mathrm{/}2$ だから$$\frac{N^2}{16}-\frac{N}{4}\leqq S_2(q_N)\leqq \frac{N^2}{16}\mathrm{.}$$$S_3(1)=0$ であるから、これを $N=2,3,\dots ,n$ について加えると$$\frac{1}{16}\sum _{N=2}^n{N}^2-\frac{1}{4}\sum _{N=2}^{n}N\leqq S_3(n)\leqq \frac{1}{16}\sum _{N=2}^n{N}^2\mathrm{.}$$各辺を $n^3$ で割る。$$\sum _{N=2}^n{N}^2\mathrm{/}{n}^3\to 1\mathrm{/}3$$、${\sum }_{N=2}^{n}N\mathrm{/}{n}^3\to 0$ だから、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_3(n)}{n^3}=\frac{1}{48}\mathrm{.}$$