大阪大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

隣り合う点の中心角は $${\displaystyle \frac{2\pi }{4n}}={\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$ である。したがって線分 $P_0{P}_k$ に対応する中心角は ${\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}$ である。半径1の円で中心角 $\alpha$ に対する弦の長さは $2\sin (\alpha \mathrm{/}2)$ だから $$P_0{P}_k=2\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}$$ である。ここで $0\leqq k\leqq 4n-1$ では $0\leqq k\pi \mathrm{/}(4n)<\pi$ なので、正弦は非負である。

よって $$2\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}\geqq \sqrt{2}$$ は $$\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ と同値であり、$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$ である。したがって $n\leqq k\leqq 3n$ である。

(2)

条件を満たす三角形の3頂点を円周上で反時計回りに見て、隣り合う選択頂点の間隔をそれぞれ $a,b,c$ とする。ここで $a,b,c$ は点の個数の刻みで測った正整数であり、円を1周するので $a+b+c=4n$ である。

(1) より、2点間の弦の長さが $\sqrt{2}$ 以上であるためには、その間隔が $n$ 以上 $3n$ 以下であればよい。三角形の3辺すべてについてこれが成り立つためには $$a\geqq n,b\geqq n,c\geqq n$$ が必要十分である。実際、この3つが成り立てば、$a+b+c=4n$ から各間隔が $3n$ を超えることはない。

そこで $$a^{\mathrm{\prime }}=a-n,b^{\mathrm{\prime }}=b-n,c^{\mathrm{\prime }}=c-n$$ とおくと $a^{\mathrm{\prime }}+b^{\mathrm{\prime }}+c^{\mathrm{\prime }}=n$ であり、$a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }},c^{\mathrm{\prime }}$ は非負整数である。この解の個数は ${\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}$ である。

始点となる頂点を $4n$ 通りに選び、その後の間隔 $(a,b,c)$ を選ぶと条件を満たす三角形が得られる。ただし、同じ三角形は3つの頂点のどれを始点にするかで3回数えられる。したがって求める個数は $$g(n)={\displaystyle \frac{4n}{3}}{\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}$$ である。整理すると $$g(n)={\displaystyle \frac{4n}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{(n+2)(n+1)}{2}}={\displaystyle \frac{2n(n+1)(n+2)}{3}}$$ である。

(1) は中心角から弦長を判定する。(2)ではまず $P_0$ を含む三角形だけを数える。他の2頂点を $P_j,P_k$ とし、3つの円周上の間隔がすべて $n$ 以上という条件を連立不等式にして、$j$ ごとに $k$ の個数を足す。

(1)

$P_0{P}_k$ の中心角は $k\pi \mathrm{/}(2n)$ だから$$P_0{P}_k=2\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}\mathrm{.}$$従って$$P_0{P}_k\geqq \sqrt{2}$$となるのは$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq {\displaystyle \frac{k\pi }{4n}}\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{4}},$$すなわち$$n\leqq k\leqq 3n$$のときである。

(2)

まず $P_0$ を1頂点にもつ三角形を$$P_0{P}_j{P}_k(0<j<k<4n)$$と書く。3辺がすべて $\sqrt{2}$ 以上であるための必要十分条件は、円周上の3間隔について$$j\geqq n,k-j\geqq n,4n-k\geqq n$$が成り立つことである。

従って$$n\leqq j\leqq 2n,j+n\leqq k\leqq 3n\mathrm{.}$$固定した $j$ に対する $k$ の個数は $2n-j+1$ だから、$P_0$ を含む三角形の個数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{j=n}^{2n}(2n-j+1)}& {\displaystyle =1+2+\cdots +(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$頂点の選び方を $4n$ 倍すると各三角形を3回ずつ数える。よって$$g(n)={\displaystyle \frac{4n}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}={\displaystyle \frac{2n(n+1)(n+2)}{3}}\mathrm{.}$$