大阪大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) 円 $C_n$ の中心は$$O_n=((5-n)\cos t,(5-n)\sin t)$$である。中心が角 $t$ だけ動く間に接点が円 $C$ 上を進む弧の長さは $(5-n)t$ である。滑らないので、円 $C_n$ は中心のまわりに時計回りへ$$\frac{(5-n)t}{n}$$だけ回転する。初めに $$\overrightarrow{O_n{P}_n}=(n,0)$$ であったから$$\overrightarrow{O_n{P}_n}=(n\cos \frac{(5-n)t}{n},-n\sin \frac{(5-n)t}{n})\mathrm{.}$$したがって$$P_n=((5-n)\cos t+n\cos \frac{(5-n)t}{n},(5-n)\sin t-n\sin \frac{(5-n)t}{n})\mathrm{.}$$

中心は半径 $5-n$ の円を公転し、小円は反対向きに自転する。

(2) $n=2$ のとき、中心は2周するので $0\leqq t\leqq 4\pi$ である。$t=2u$ とおけば $0\leqq u\leqq 2\pi$ であり、(1)から$$P_2=(3\cos 2u+2\cos 3u,3\sin 2u-2\sin 3u)\mathrm{.}$$一方、$n=3$ のときは中心が3周するので、$t$ は長さ $6\pi$ の範囲を動く。(1)で $t=-3u$ と置くと$$P_3=(2\cos 3u+3\cos 2u,-2\sin 3u+3\sin 2u)\mathrm{.}$$これは $P_2$ の座標と一致する。$u$ が長さ $2\pi$ の区間を動くとき $-3u$ は中心の3周分を逆向きに一巡し、描かれる点の集合は向きによらない。よって $P_2$ と $P_3$ の描く曲線は同じである。