大阪大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
$n$ は偶数で、かつ素数ではないとする。$n=2$ は素数なので除かれるから、2は $1$ でも $n$ でもない $n$ の正の約数である。

条件(ii)より、$1$ でも $n$ でもない任意の正の約数 $d$ は $\mathrm{\mid }d-2\mathrm{\mid }\leqq 2$ をみたす。したがって $d=2,3,4$ のいずれかである。

$n=2k$ とおく。$n=4$ のときは $k=2$ であり、$n>4$ のときも $k=n\mathrm{/}2$ は $1$ でも $n$ でもない約数である。よっていずれの場合も $k=2,3,4$ でなければならない。したがって候補は $n=4,6,8$ である。

実際に、$4$ の非自明な正の約数は $2$、$6$ の非自明な正の約数は $2,3$、$8$ の非自明な正の約数は $2,4$ であり、どの場合も任意の2つの差は2以下である。よって求める $n$ は $4,6,8$ である。

(2)
$n$ が7の倍数で条件をみたすとする。$n=7$ は素数なので条件(i)をみたさない。したがって $n\mathrm{\ne }7$ であり、7は $1$ でも $n$ でもない正の約数である。

条件(ii)より、任意の非自明な正の約数 $d$ は $\mathrm{\mid }d-7\mathrm{\mid }\leqq 2$ をみたすから、$d=5,6,7,8,9$ のいずれかである。

また、$n\mathrm{/}7$ も $n$ の正の約数であり、$n\mathrm{\ne }7$ だから $1$ でも $n$ でもない。よって $$\frac{n}{7}=5,6,7,8,9$$ でなければならない。したがって候補は $35,42,49,56,63$ である。

それぞれを調べると、$35:5,7,49:7$ は非自明な約数どうしの差が2以下である。一方、$42$ は $2,3,6,7$ などを約数にもつので $2$ と $7$ の差が5、$56$ は $2$ と $7$ の差が5、$63$ は $3$ と $7$ の差が4となり、条件(ii)をみたさない。

よって求める $n$ は $35,49$ である。

(3)
条件をみたす $n$ を考え、$1$ でも $n$ でもない正の約数のうち最小のものを $p$ とする。この $p$ は素数である。実際、もし $p$ が合成数なら、$p$ は $1$ より大きく $p$ より小さい約数をもつので、それが $n$ の非自明な約数となり、$p$ の最小性に反する。

また、$n$ は素数ではないので $n>p$ であり、$n\mathrm{/}p$ も $1$ でも $n$ でもない正の約数である。さらに $p$ は最小の非自明約数だから $$p\leqq \frac{n}{p}$$ であり、条件(ii)を $p$ と $n\mathrm{/}p$ に適用すると $\frac{n}{p}-p\leqq 2$ である。したがって $$\frac{n}{p}=p,p+1,p+2$$ のいずれかである。

よって次の3つの場合に分けられる。

まず $$\frac{n}{p}=p$$ のとき、$n=p^2$ である。これは任意の素数 $p$ について条件をみたす。$2\leqq n\leqq 1000$ では $$p=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$$ が可能である。

次に $$\frac{n}{p}=p+1$$ のときを考える。$p$ が奇素数なら $p+1$ は偶数であり、$2$ が $n=p(p+1)$ の非自明な約数になる。しかし $2<p$ なので、$p$ が最小の非自明約数であることに反する。したがって $p=2$ のみが可能で、このとき $n=2\cdot 3=6$ である。

最後に $$\frac{n}{p}=p+2$$ のときを考える。$p=2$ なら $n=2\cdot 4=8$ であり、これは条件をみたす。$p$ が奇素数のとき、$p+2$ が合成数であれば、$p+2$ は $1$ より大きく $p+2$ より小さい約数をもつ。その約数は $(p+2)\mathrm{/}2<p$ 以下なので、$n$ は $p$ より小さい非自明な約数をもつことになり矛盾する。したがって $p+2$ も素数でなければならない。

$2\leqq p(p+2)\leqq 1000$ で、$p$ と $p+2$ がともに素数であるものを調べると $p=3,5,11,17,29$ が得られ、それぞれ $15,35,143,323,899$ を与える。

以上を合わせ、重複を除いて小さい順に並べると、条件をみたす $n$ は $4,6,8,9,15,25,35,49,121,143,169,289,323,361,529,841,899,961$ である。これらは、$p^2$ 型、$6$、$8$、または $p(p+2)$ 型として得られたものなので、いずれも非自明な約数全体が $p,p+1,p+2$ の範囲に収まり、条件(ii)をみたす。