大阪大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
$D$ は $y<-x^2+16$ で表されるので、放物線 $y=-x^2+16$ の下側の領域である。境界の放物線そのものは、$<$ であるため $D$ には含まれない。

一方、$E$ は $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1$ である。これは点 $(1,0)$ から、横方向と縦方向のずれの和が1以下である点全体だから、頂点 $(0,0),(1,1),(2,0),(1,-1)$ をもつひし形の内部および周である。

境界の包含関係も含めると、2つの領域は次のようになる。

(2)
点 $A(a,b)$ を通り傾きが $-2a$ の直線は $y-b=-2a(x-a)$ すなわち $y=-2ax+2a^2+b$ である。放物線 $y=-x^2+16$ とこの直線の縦方向の差をとると $$(-x^2+16)-(-2ax+2a^2+b)=16-a^2-b-(x-a{)}^2$$ である。

ここで $h=16-a^2-b$ とおく。$A(a,b)$ が $D$ に属することは $b<-a^2+16$ すなわち $h>0$ を意味する。したがって2つの曲線の交点は $h-(x-a{)}^2=0$ より$$x=a-\sqrt{h},x=a+\sqrt{h}$$で与えられる。

よって囲まれた部分の面積は$$S(a,b)={\int }_{a-\sqrt{h}}^{a+\sqrt{h}}\{h-(x-a{)}^2\}dx$$である。$u=x-a$ とおくと$$S(a,b)={\int }_{-\sqrt{h}}^{\sqrt{h}}(h-u^2)du=2{\int }_0^{\sqrt{h}}(h-u^2)du$$であり、$$2{[hu-\frac{u^3}{3}]}_0^{\sqrt{h}}=2(h\sqrt{h}-\frac{h\sqrt{h}}{3})=\frac{4}{3}h\sqrt{h}$$となる。したがって $$S(a,b)=\frac{4}{3}(16-a^2-b{)}^{3\mathrm{/}2}$$ である。

(3)
(2)より、$S(a,b)$ は $16-a^2-b$ が大きいほど大きくなる。したがって $A(a,b)$ が $E$ を動くときの $S(a,b)$ の最大値を求めるには、$E$ 上で $a^2+b$ の最小値を求めればよい。

$E$ に属する点では $\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\leqq 1$ であるから、まず $0\leqq a\leqq 2$ である。また、$a$ を固定したとき、$b$ の最小値は $b=-(1-\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid })$ である。

$0\leqq a\leqq 1$ のときは $\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }=1-a$ だから $b=-a$ が下側境界であり、$$a^2+b=a^2-a={(a-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}$$ となる。よってこの区間での最小値は、$a=1\mathrm{/}2$ のとき $-\frac{1}{4}$ である。

$1\leqq a\leqq 2$ のときは $\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }=a-1$ だから $b=a-2$ が下側境界であり、$a^2+b=a^2+a-2$ となる。この式は $1\leqq a\leqq 2$ で増加するので、最小値は $a=1$ のとき $0$ である。

したがって $E$ 上での $a^2+b$ の最小値は $-\frac{1}{4}$ であり、このとき $$16-a^2-b=16-(-\frac{1}{4})=\frac{65}{4}$$ となる。よって$$S(a,b)\leqq \frac{4}{3}{\left(\frac{65}{4}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\frac{4}{3}\cdot \frac{65\sqrt{65}}{8}=\frac{65\sqrt{65}}{6}$$である。

実際に $a=1\mathrm{/}2,b=-1\mathrm{/}2$ は $E$ に属するので、この値は達成される。したがって最大値は $\frac{65\sqrt{65}}{6}$ である。