大阪大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

点 $P(x_0,y_0)$ と直線$$L:ax+by+c=0$$を考える。ただし、$a,b$ は同時に $0$ ではないから$$a^2+b^2>0$$である。

直線 $L$ の法線ベクトルは $(a,b)$ である。$P$ から $L$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、ある実数 $\lambda$ を用いて$$H=(x_0-\lambda a,y_0-\lambda b)$$と表せる。

$H$ は $L$ 上にあるので$$a(x_0-\lambda a)+b(y_0-\lambda b)+c=0.$$したがって$$\lambda =\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle PH}& {\displaystyle =\sqrt{(\lambda a{)}^2+(\lambda b{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\sqrt{a^2+b^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\mathrm{\mid }a{x}_0+b{y}_0+c\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$垂線の長さ $PH$ が点 $P$ と直線 $L$ の距離だから、求める公式が示された。

直線上の任意の点 $Q$ までの距離に共通の下限を与え、その下限が実際に垂線の足で達成されることを示す。評価には、2変数の恒等式から得られるコーシー・シュワルツの不等式を用いる。

直線 $L$ 上の任意の点を $Q(X,Y)$ とし、$$u=X-x_0,v=Y-y_0$$とおく。$aX+bY+c=0$ だから$$au+bv=-(a{x}_0+b{y}_0+c)$$である。

恒等式$$(a^2+b^2)(u^2+v^2)-(au+bv{)}^2=(bu-av{)}^2$$の右辺は $0$ 以上なので$$\mathrm{\mid }au+bv\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{u^2+v^2}$$である。したがって、直線上のどの点 $Q$ に対しても$$PQ=\sqrt{u^2+v^2}\geqq \frac{\mathrm{\mid }a{x}_0+b{y}_0+c\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}\mathrm{.}$$ここで$$\lambda =\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2},Q_0=(x_0-\lambda a,y_0-\lambda b)$$とおくと、直接代入して $Q_0$ は $L$ 上にある。また$$\overrightarrow{P{Q}_0}=-\lambda (a,b)$$だから、上の不等式では等号が成立する。

したがって直線上の点までの距離の最小値は$$\frac{\mathrm{\mid }a{x}_0+b{y}_0+c\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}$$であり、これが点 $P$ と直線 $L$ の距離である。