大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $S_1,S_2$ の中心をそれぞれ $(-1,0,0),(1,0,0)$ に置き、この2点を結ぶ直線を $x$ 軸とする。$T_i$ の共通半径を $r$、その中心と $x$ 軸との距離を $\rho$ とする。 $T_i$ は $S_1,S_2$ の両方に外接するので、$T_i$ の中心は2つの中心から等距離にある。したがってその中心は平面 $x=0$ 上にある。また、$S_1$ の中心から $T_i$ の中心までの距離は $1+r$ であるから、直角三角形より $1^2+{\rho }^2=(1+r{)}^2$ である。よって ${\rho }^2=r^2+2r=r(r+2)$ を得る。

次に、$T_1,T_2,\dots ,T_n$ の中心は、平面 $x=0$ 上で半径 $\rho$ の円周上に並ぶ。隣り合う球は接するので、隣り合う中心間の距離は $2r$ である。隣接する中心間の小さい中心角を $\delta$ とする。中心間距離が $2r$ であるため、すべての隣接対で同じ $\delta$ をもつ。もし円周上にこれより小さい間隔があれば、その2球は重なる。したがって重なりなく一周する $n$ 個の中心は円周を等分し、$\delta =2\pi \mathrm{/}n$ である。弦の長さより$$2\rho \sin \frac{\pi }{n}=2r$$すなわち $$r=\rho \sin \frac{\pi }{n}$$ である。

これを ${\rho }^2=r(r+2)$ に代入する。$r>0$ なので $$r^2={\rho }^2{\sin }^2\frac{\pi }{n}=r(r+2){\sin }^2\frac{\pi }{n}$$ より $$r=(r+2){\sin }^2\frac{\pi }{n}$$ である。したがって $$r(1-{\sin }^2\frac{\pi }{n})=2{\sin }^2\frac{\pi }{n}$$ となり、$$r{\cos }^2\frac{\pi }{n}=2{\sin }^2\frac{\pi }{n}$$ である。よって $$r_n=2{\tan }^2\frac{\pi }{n}$$ である。

(2) $T_1$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求める。$x$ 軸からの距離を $u$ として、$x$ 軸を含む平面で断面を見ると、$T_1$ の断面は $$(u-\rho {)}^2+v^2\leqq r_n^2$$ で表される半径 $r_n$ の円板である。距離 $u$ の細い帯を回転すると、円周 $2\pi u$ と幅により体積要素を作る。よって$$V_n={\int }_{\rho -r_n}^{\rho +r_n}2\pi u\cdot 2\sqrt{r_n^2-(u-\rho {)}^2}du$$である。$w=u-\rho$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_n}& {\displaystyle =4\pi {\int }_{-r_n}^{r_n}(\rho +w)\sqrt{r_n^2-w^2}dw}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\pi \rho {\int }_{-r_n}^{r_n}\sqrt{r_n^2-w^2}dw}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +4\pi {\int }_{-r_n}^{r_n}w\sqrt{r_n^2-w^2}dw}\end{array}$$である。第2項は奇関数の積分なので0であり、第1項の積分に現れる値は、半径 $r_n$ の半円の面積だから$${\int }_{-r_n}^{r_n}\sqrt{r_n^2-w^2}dw=\frac{\pi r_n^2}{2}$$である。したがって $V_n=2{\pi }^2\rho r_n^2$ である。

一方、$T_1,T_2,\dots ,T_n$ は半径 $r_n$ の球なので、体積の和は $$W_n=n\cdot \frac{4\pi r_n^3}{3}$$ である。よって$$\frac{W_n}{V_n}=\frac{n\cdot \frac{4\pi r_n^3}{3}}{2{\pi }^2\rho r_n^2}=\frac{2n}{3\pi }\cdot \frac{r_n}{\rho }$$である。(1) の途中で得た $r_n=\rho \sin (\pi \mathrm{/}n)$ より $$\frac{W_n}{V_n}=\frac{2n}{3\pi }\sin \frac{\pi }{n}$$ となる。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{W_n}{V_n}=\frac{2}{3\pi }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\sin \frac{\pi }{n}=\frac{2}{3\pi }\cdot \pi =\frac{2}{3}$$である。