大阪大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
底を $2$ にそろえると$${\log }_{\frac{1}{4}}(a+b)=-\frac{1}{2}{\log }_2(a+b),{\log }_{\frac{1}{2}}c=-{\log }_{2}c$$である。したがって$$-\frac{1}{2}{\log }_2(a+b)>-{\log }_{2}c$$より$${\log }_2(a+b)<{\log }_2{c}^2\mathrm{.}$$${\log }_{2}x$ は増加関数だから、条件は$$a+b<c^2$$と同値である。

$c$ ごとの順序対 $(a,b)$ の個数は次のようになる。$$\begin{array}{ccc}c& \text{条件}& \text{個数}\\ 1& a+b<1& 0\\ 2& a+b<4& 3\\ 3& a+b\leqq 8& 1+2+3+4+5+6+5=26\\ 4,5,6& a+b<c^2& 36\text{（各 }c\text{）}\end{array}$$よって条件を満たす出方は$$0+3+26+36+36+36=137$$通りである。全事象は $6^3=216$ 通りだから、求める確率は$$\frac{137}{216}$$である。

(2)
$2\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ より$$2^k\equiv \{\begin{array}{ll}1& (k\text{ が偶数}),\\ -1& (k\text{ が奇数})\end{array}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}$$3個の指数のうち奇数であるものの個数を $r$ とすると$$2^a+2^b+2^c\equiv (3-r)-r=3-2r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}$$これが $0$ になるのは $r=0$ または $r=3$、すなわち $a,b,c$ がすべて偶数、またはすべて奇数のときである。

偶数の目も奇数の目も3個ずつあるから、有利な出方は$$3^3+3^3=54$$通りである。したがって求める確率は$$\frac{54}{216}=\frac{1}{4}$$である。