大阪大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

座標を $A=(0,0),B=(2,0)$ とおく。円 $C$ は線分 $AB$ を直径とするから、中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円であり、方程式は $(x-1{)}^2+y^2=1$ すなわち $x^2+y^2=2x$ である。

図形は $x$ 軸に関して対称なので、まず $P$ が上半円上にあるとしてよい。$\theta =\mathrm{\angle }PAB$ とする。直径に対する円周角より $\mathrm{\angle }APB={90}^{\circ }$ であるから、直角三角形 $APB$ において $$AP=AB\cos \theta =2\cos \theta$$ である。したがって$$P=(2\cos \theta \cos \theta ,2\cos \theta \sin \theta )=(2{\cos }^2\theta ,2\sin \theta \cos \theta )$$である。また $Q$ は線分 $AB$ 上で $AQ=AP$ を満たすので $Q=(2\cos \theta ,0)$ である。

以下、$$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$ と書く。直線 $PQ$ の傾きは $$\frac{2sc-0}{2c^2-2c}=\frac{s}{c-1}=-\frac{s}{1-c}$$ である。したがって $PQ$ 上の点は $$y=-\frac{s}{1-c}(x-2c)$$ を満たす。

円とのもう一つの交点を $R=(1+c,-s)$ と予想して確認する。まず $$(1+c{)}^2+(-s{)}^2=1+2c+c^2+s^2=2+2c=2(1+c)$$ であるから、$R$ は円 $C$ 上にある。また $$\frac{-s-0}{(1+c)-2c}=-\frac{s}{1-c}$$ であるから、$R$ は直線 $PQ$ 上にもある。$R\mathrm{\ne }P$ なので、これが $P$ でない方の交点である。 $Q$ は $x$ 軸上、$R$ の $y$ 座標は $-s$ であるから、$\mathrm{△}AQR$ の面積 $S$ は $$S=\frac{1}{2}\cdot AQ\cdot \mathrm{\mid }\text{高さ}\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot s=sc$$ である。したがって $$S=\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$$ である。$P$ が下半円上にある場合も、$y$ 座標の符号が反対になるだけで面積は同じである。

(2) $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ なので、$2\theta$ は $0<2\theta <\pi$ を動く。よって $\frac{1}{2}\sin 2\theta$ が最大となるのは $$2\theta =\frac{\pi }{2},\theta =\frac{\pi }{4}$$ のときである。

このとき $$\cos \theta =\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$$ であるから、上半円側では$$\overrightarrow{AB}=(2,0),\overrightarrow{AP}=(1,1),\overrightarrow{AR}=(1+\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$$である。ここで $$\overrightarrow{AR}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AP}$$ とおくと、成分比較より $$(2\lambda +\mu ,\mu )=(1+\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$$ である。したがって$$\mu =-\frac{\sqrt{2}}{2},2\lambda -\frac{\sqrt{2}}{2}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$$より $$\lambda =\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$ である。ゆえに$$\overrightarrow{AR}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{AP}$$である。$P$ が下半円側にある場合も、$\overrightarrow{AP}$ の $y$ 成分と $\overrightarrow{AR}$ の $y$ 成分が同時に反転するため、同じベクトル表示が成り立つ。

上半円側の代表的な配置を描くと次のようになる。直線 $PQR$ は $Q$ で線分 $AB$ と交わり、$R$ は反対側の半円上にある。

点 $Q$ の方べき $QA\cdot QB=QP\cdot QR$ から $QR$ を求め、$R$ が $P$ と反対向きにあることをベクトルで処理する。得た座標から面積を最大化し、最大時のベクトル表示まで完結させる。

図形は $x$ 軸対称なので、$P$ が上半円上にある場合を扱う。$c=\cos \theta$, $s=\sin \theta$ とおくと$$P=(2c^2,2sc),Q=(2c,0)$$である。

点 $Q$ の円 $C$ に関する方べきを、2本の弦 $AB$ と $PR$ で表すと$$QA\cdot QB=QP\cdot QR$$である。ここで$$QA=2c,QB=2(1-c)$$であり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle QP}& {\displaystyle =\sqrt{(2c^2-2c{)}^2+(2sc{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2c\sqrt{2(1-c)}}\end{array}$$だから$$QR=\sqrt{2(1-c)}$$である。

$R$ は $Q$ から見て $P$ と反対向きにあるため$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{QR}}& {\displaystyle =-\frac{QR}{QP}\overrightarrow{QP}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{2c}2c(c-1,s)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-c,-s)}\end{array}$$となる。したがって$$R=(1+c,-s)$$である。

(1)

底辺 $AQ=2c$、高さ $s$ なので$$[\mathrm{△}AQR]=\frac{1}{2}\cdot 2c\cdot s=\sin \theta \cos \theta$$である。

(2)

面積は$$\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$$だから、$\theta =\pi \mathrm{/}4$ のとき最大となる。このとき$$\overrightarrow{AB}=(2,0),\overrightarrow{AP}=(1,1),\overrightarrow{AR}=(1+\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$$である。$y$ 成分と $x$ 成分を順に比較すると$$\overrightarrow{AR}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{AP}$$を得る。$P$ が下半円側の場合も両ベクトルの縦成分が同時に反転するので、同じ表示が成り立つ。