大阪大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
$C_1$ は $$x^2+\frac{y^2}{a^2}=1$$ であり、$a>0$ だから、$C_1$ 上の点 $P$ は $$P=(\cos \theta ,a\sin \theta )$$ と表せる。

直線 $C_2$ は $y=2ax-3a$ すなわち $y-2ax+3a=0$ である。点 $P$ からこの直線までの距離は$$\frac{\mathrm{\mid }a\sin \theta -2a\cos \theta +3a\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+4a^2}}=\frac{a\mathrm{\mid }\sin \theta -2\cos \theta +3\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+4a^2}}$$である。

ここで $\sin \theta -2\cos \theta$ の最小値は $$-\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=-\sqrt{5}$$ であり、最大値は $\sqrt{5}$ である。さらに $3-\sqrt{5}>0$ だから、$\sin \theta -2\cos \theta +3$ は常に正である。よって距離を最小にするには、$\sin \theta -2\cos \theta$ を最小にすればよく、その最小値は $3-\sqrt{5}$ である。

したがって $$f(a)=\frac{a(3-\sqrt{5})}{\sqrt{1+4a^2}}$$ である。

(2)
(1)で得た式を用いると$$f(a)=\frac{a(3-\sqrt{5})}{\sqrt{1+4a^2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{4+\frac{1}{a^2}}}$$である。$a\to \mathrm{\infty }$ のとき $1\mathrm{/}{a}^2\to 0$ だから $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$ である。

$(x,y)=(u,av)$ として楕円を単位円 $u^2+v^2=1$ へ移す。直線までの距離の分子は $a(v-2u+3)$ なので、コーシー・シュワルツの不等式で $v-2u$ の最小値と等号条件を直接求める。最後に得られた式の分母を $a$ で割って極限を計算する。

(1)
楕円上の点を$$(x,y)=(u,av),u^2+v^2=1$$と表す。直線 $C_2$ の方程式は$$y-2ax+3a=0$$なので、この点から $C_2$ までの距離は$$\frac{a\mathrm{\mid }v-2u+3\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+4a^2}}$$である。

コーシー・シュワルツの不等式より$$v-2u\geqq -\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\sqrt{u^2+v^2}=-\sqrt{5}\mathrm{.}$$等号は$$(u,v)=(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}})$$のときに成り立つ。また $3-\sqrt{5}>0$ であるから、絶対値の
内部は常に正である。したがって$$f(a)=\frac{a(3-\sqrt{5})}{\sqrt{1+4a^2}}\mathrm{.}$$(2)$$f(a)=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{4+1\mathrm{/}{a}^2}}$$と変形できるので、$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$