大阪大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

直線 $l:y=kx+m$ が放物線 $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ に接する条件を求める。交点の $x$ 座標は $-\frac{1}{2}{x}^2=kx+m$ すなわち $x^2+2kx+2m=0$ の解である。接するためにはこの2次方程式が重解をもてばよいので、判別式を $0$ として $(2k{)}^2-4\cdot 1\cdot 2m=0$ を得る。したがって $$4k^2-8m=0,m=\frac{k^2}{2}$$ である。

次に円 $C_1$ について考える。円 $C_1$ の中心は $(0,1)$、半径は $1$ である。直線を $kx-y+m=0$ と書くと、中心 $(0,1)$ からこの直線までの距離は $$\frac{\mathrm{\mid }k\cdot 0-1+m\mathrm{\mid }}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{\mathrm{\mid }m-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{k^2+1}}$$ である。接線であるから、この距離が半径 $1$ に等しく、$$\frac{\mathrm{\mid }m-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{k^2+1}}=1$$ が成り立つ。

ここに $m=k^2\mathrm{/}2$ を代入して両辺を2乗すると $${(\frac{k^2}{2}-1)}^2=k^2+1$$ である。$u=k^2$ とおくと $${(\frac{u}{2}-1)}^2=u+1$$ すなわち $$\frac{u^2}{4}-u+1=u+1$$ である。よって $$\frac{u^2}{4}-2u=0,u(u-8)=0$$ となる。$k>0$ より $u=k^2>0$ なので $k^2=8$ である。したがって $k=2\sqrt{2},m=4$ である。

(2)

(1) より直線は $y=2\sqrt{2}x+4$ である。放物線との接点の $x$ 座標は、上で得た2次方程式 $x^2+2kx+2m=0$ の重解であるから $x=-k=-2\sqrt{2}$ である。

直線、放物線、$y$ 軸で囲まれる部分は、$-2\sqrt{2}\leqq x\leqq 0$ において上側が直線、下側が放物線である。よって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-2\sqrt{2}}^0\{(2\sqrt{2}x+4)-(-\frac{1}{2}{x}^2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-2\sqrt{2}}^0(\frac{1}{2}{x}^2+2\sqrt{2}x+4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{x^3}{6}+\sqrt{2}{x}^2+4x]}_{-2\sqrt{2}}^0}\end{array}$$である。ここで$$\frac{(-2\sqrt{2}{)}^3}{6}+\sqrt{2}(-2\sqrt{2}{)}^2+4(-2\sqrt{2})=-\frac{8\sqrt{2}}{3}+8\sqrt{2}-8\sqrt{2}=-\frac{8\sqrt{2}}{3}$$だから、$$S=0-(-\frac{8\sqrt{2}}{3})=\frac{8\sqrt{2}}{3}$$ である。

接線、放物線、面積を取る区間の位置関係は次の通りである。

放物線上の接点を $a$ と置き、微分から接線を直接作る。円への距離条件で$k,m$ を決めた後、直線と放物線の差が完全平方になることを使って面積を短く積分する。

(1)

放物線 $C_2$ 上の接点を$$T(a,-\frac{a^2}{2})$$とおく。$y=-x^2\mathrm{/}2$ の微分係数は $-x$ だから、$T$ における接線は$$y=-a(x-a)-\frac{a^2}{2}=-ax+\frac{a^2}{2}$$である。これを $y=kx+m$ と比較すると$$k=-a,m=\frac{a^2}{2}=\frac{k^2}{2}$$を得る。

一方、円 $C_1$ の中心 $(0,1)$ から直線 $kx-y+m=0$ までの距離が1なので$$\frac{\mathrm{\mid }m-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{k^2+1}}=1$$である。$m=k^2\mathrm{/}2$ を代入し、$u=k^2>0$ とおくと$${(\frac{u}{2}-1)}^2=u+1⟺u(u-8)=0$$となる。$k>0$ より$$k=2\sqrt{2},m=4$$である。

(2)

接点の $x$ 座標は $a=-k=-2\sqrt{2}$ である。また直線と放物線の上下差は$$(2\sqrt{2}x+4)-(-\frac{x^2}{2})=\frac{1}{2}(x+2\sqrt{2}{)}^2$$と平方になる。よって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-2\sqrt{2}}^0\frac{1}{2}(x+2\sqrt{2}{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[\frac{(x+2\sqrt{2}{)}^3}{6}\right]}_{-2\sqrt{2}}^0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{8\sqrt{2}}{3}}\end{array}$$である。