大阪大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$x\geqq 0$ では$$y=x^2-2x+4$$である。直線との差は$$(x^2-2x+4)-(mx+4)=x(x-m-2)$$だから、右側に囲まれる部分ができるのは $m\geqq -2$ のときである。その面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_R(m)}& {\displaystyle ={\int }_0^{m+2}\{(m+2)x-x^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{m+2}{2}{x}^2-\frac{x^3}{3}]}_0^{m+2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(m+2{)}^3}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$$x\leqq 0$ では$$y=x^2+4x+4$$である。直線との差は$$(x^2+4x+4)-(mx+4)=x(x+4-m)$$だから、左側に囲まれる部分ができるのは $m\leqq 4$ のときである。その面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_L(m)}& {\displaystyle ={\int }_{m-4}^0\{(m-4)x-x^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(4-m{)}^3}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $-2\leqq m\leqq 4$ では$$A(m)=\frac{(m+2{)}^3+(4-m{)}^3}{6}\mathrm{.}$$微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^{\mathrm{\prime }}(m)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{(m+2{)}^2-(4-m{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6(m-1)\mathrm{.}}\end{array}$$よってこの範囲では $m=1$ のとき最小であり、$$A(1)=9$$である。

$m<-2$ では左側の面積だけが存在し$$A(m)=\frac{(4-m{)}^3}{6}>36,$$$m>4$ では右側の面積だけが存在し$$A(m)=\frac{(m+2{)}^3}{6}>36.$$いずれも $m=1$ のときの面積 $9$ より大きい。

図は最小となる $m=1$ の場合で、左右の交点は $x=-3,0,3$ である。

以上より、面積が最小となるのは$$m=1$$である。

左右にできる領域の幅を $m+2$ と $4-m$ として面積公式を求める。$m=1+t$ と中心化すると、面積が $9+3t^2$ まで簡単化されるので、微分せずに最小値が分かる。

右側と左側の曲線はそれぞれ$$y=x^2-2x+4,y=x^2+4x+4$$である。$-2\leqq m\leqq 4$ のとき、直線と曲線で囲まれる区間の幅は、右側が $m+2$、左側が $4-m$ である。

二次関数 $wx-x^2$ が $0\leqq x\leqq w$ で作る面積は$${\int }_0^w(wx-x^2)dx=\frac{w^3}{6}$$だから、全体の面積は$$A(m)=\frac{(m+2{)}^3+(4-m{)}^3}{6}\mathrm{.}$$ここで$$m=1+t$$とおくと、$-3\leqq t\leqq 3$ であり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(m)}& {\displaystyle =\frac{(3+t{)}^3+(3-t{)}^3}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9+3t^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$A(m)\geqq 9$$で、等号は $t=0$、すなわち $m=1$ のときに成立する。

なお $m<-2$ では左側だけで$$A(m)=\frac{(4-m{)}^3}{6}>36,$$$m>4$ では右側だけで$$A(m)=\frac{(m+2{)}^3}{6}>36$$となるので、範囲外により小さい面積はない。

よって求める値は$$m=1$$である。