大阪大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $h(t)=g(t)-g(1\mathrm{/}t)$ とおく。$g(1\mathrm{/}t)=t^{-2}+2\log t$ であるから$$h(t)=t^2-\frac{1}{t^2}-4\log t\mathrm{.}$$したがって$$h^{\mathrm{\prime }}(t)=2t+\frac{2}{t^3}-\frac{4}{t}=\frac{2(t^2-1{)}^2}{t^3}\mathrm{.}$$$t>1$ では $h^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ であり、$h(1)=0$ だから $h(t)>0$ である。よって $g(t)>g(1\mathrm{/}t)$ が成り立つ。

(2) $f(t)=f(s)$ は$$t+\frac{1}{t}=s+\frac{1}{s}$$と同値である。両辺を整理すると$$(t-s)(t-\frac{1}{s})=0$$となるから、$t=s$ または $t=1\mathrm{/}s$ である。

$s=1$ のときは2つの値が一致するので共有点は1個である。$s>1$ のときは $s\mathrm{\ne }1\mathrm{/}s$ であり、(1)より $g(s)>g(1\mathrm{/}s)$ だから、同じ $x$ 座標をもつ異なる2点になる。したがって共有点は2個である。

曲線の2枝と縦線の位置関係は次のようになる。
形状を見やすくするため、図では $a=3$ としている。

(3) $1\leqq t\leqq a$ とする。このとき $$f^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{1}{2}(1-t^{-2})\geqq 0$$ であり、同じ $x=f(t)$ における上側の点は $(f(t),g(t))$、下側の点は $(f(t),g(1\mathrm{/}t))$ である。(1)より上下関係も確定している。よって求める面積を $S$ とすると$$S={\int }_1^a\{g(t)-g(1\mathrm{/}t)\}{f}^{\mathrm{\prime }}(t)dt\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_1^a(t^2-\frac{1}{t^2}-4\log t)(1-\frac{1}{t^2})dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_1^a(t^2-1-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}-4\log t+\frac{4\log t}{t^2})dt\mathrm{.}}\end{array}$$ここで部分積分により$$\int \frac{\log t}{t^2}dt=-\frac{\log t+1}{t}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{[\frac{t^3}{3}+3t-4t\log t-\frac{3+4\log t}{t}-\frac{1}{3t^3}]}_1^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{a^3}{6}+\frac{3a}{2}-2a\log a-\frac{3+4\log a}{2a}-\frac{1}{6a^3}\mathrm{.}}\end{array}$$