大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

条件 $$s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$$ を成分で書くと $s(a,b)+t(c,d)=(e,0)$ である。したがって$$\{\begin{array}{l}as+ct=e,\\ bs+dt=0\end{array}$$を満たす実数 $s,t$ が存在する条件を求めればよい。

まず $ad-bc\mathrm{\ne }0$ の場合を考える。このとき $(a,b)$ と $(c,d)$ は平行でないので、上の連立方程式は任意の右辺 $(e,0)$ に対してただ1つの解をもつ。実際、消去法で解けば分母に $ad-bc$ が現れ、これが0でないため解が定まる。したがってこの場合は条件を満たす。

次に $ad-bc=0$ の場合を考える。このとき $(a,b)$ と $(c,d)$ は平行であり、これらの一次結合で表せる点は、原点を通る同じ直線上の点に限られる。

もし $e=0$ なら、$$\overrightarrow{OC}=(0,0)$$ であるから、$s=t=0$ とすれば条件を満たす。

また $b=d=0$ なら、$A,B$ はどちらも原点ではないので、$(a,0)$、$(c,0)$ の少なくとも一方は0でない $x$ 軸方向のベクトルである。このとき $(e,0)$ は $x$ 軸上の点なので、たとえば0でない方のベクトルを実数倍することで $(e,0)$ を表せる。したがって条件を満たす。

逆に、$ad-bc=0$、$e\mathrm{\ne }0$、かつ $b,d$ の少なくとも一方が0でないとする。このとき $(a,b)$、$(c,d)$ が作る原点を通る直線は $x$ 軸ではない。したがって、その直線上にない0でない $x$ 軸上の点 $(e,0)$ は、$(a,b)$ と $(c,d)$ の一次結合では表せない。

以上より、求める必要十分条件は $$ad-bc\mathrm{\ne }0\text{または}e=0\text{または}b=d=0$$ である。

成分表示で得られる連立方程式の係数行列を調べる。行列式 $ad-bc$ が0でなければ常に解がある。行列式が0のときは、右辺ベクトル $(e,0)$ と各列ベクトルが同一直線上にある条件を2つの2次行列式で表すと、$be=de=0$ が得られる。これを論理条件へ整理する。

与式を成分で書けば$$\{\begin{array}{l}as+ct=e,\\ bs+dt=0\end{array}$$である。係数行列の行列式は$$\mathrm{\Delta }=ad-bc$$である。

まず $\mathrm{\Delta }\mathrm{\ne }0$ なら、連立方程式は任意の右辺に対してただ1つの解をもつ。したがって条件を満たす $s,t$ が存在する。

次に $\mathrm{\Delta }=0$ とする。このとき列ベクトル $(a,b)$、$(c,d)$ は平行である。右辺 $(e,0)$ がその張る直線上にあるための条件は$$\mid \begin{array}{cc}a& e\\ b& 0\end{array}\mid =0,\mid \begin{array}{cc}c& e\\ d& 0\end{array}\mid =0$$である。すなわち$$be=0,de=0$$である。点A、Bは原点でないので、2つの列ベクトルが同時に零になることはなく、この条件は整合条件として十分でもある。

$be=de=0$ は、$e=0$ または $b=d=0$ と同値である。よって求める必要十分条件は$$ad-bc\mathrm{\ne }0\text{または}e=0\text{または}b=d=0$$である。