阪大 2011年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) で ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}$ が平面の基底になっていることを、係数 $s, t$ を実際に解いて示す。(2)は条件（＊）の左辺が $\vec{p}$ に関して一次的であることを使い、 ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}$ で成り立てばその一次結合でも成り立つと示す。(3)は標準座標で左辺を成分表示し、すべての $\vec{p} = (X, Y)$ について $c \vec{p}$ に等しくなるための係数条件を立てる。対角成分が等しく、非対角成分が0になる条件を $u = 3 a + b$ とおいて解く。

解答

(1) ${\vec{v}}_{1} = (3, 0), {\vec{v}}_{2} = (1, 2 \sqrt{2})$ であるから、実数 $s, t$ に対して $s {\vec{v}}_{1} + t {\vec{v}}_{2} = (3 s + t, 2 \sqrt{2} t)$ である。これが任意の $\vec{v} = (x, y)$ に等しくなるためには $2 \sqrt{2} t = y$ より $t = \frac{y}{2 \sqrt{2}}$ であり、さらに $3 s + t = x$ より $s = \frac{x - t}{3} = \frac{x}{3} - \frac{y}{6 \sqrt{2}}$ である。

したがって任意の $\vec{v} = (x, y)$ は $\vec{v} = (\frac{x}{3} - \frac{y}{6 \sqrt{2}}) {\vec{v}}_{1} + \frac{y}{2 \sqrt{2}} {\vec{v}}_{2}$ と表される。

${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}$ は平行でないため、平面の基底になる。

(2)

条件（＊）の左辺を $F (\vec{p}) = ({\vec{v}}_{1} \cdot \vec{p}) {\vec{v}}_{1} + ({\vec{v}}_{2} \cdot \vec{p}) {\vec{v}}_{2} + ({\vec{v}}_{3} \cdot \vec{p}) {\vec{v}}_{3}$ とおく。内積は $\vec{p}$ について一次的であるから、 $F (\vec{p})$ も $\vec{p}$ について一次的である。すなわち任意の実数 $s, t$ に対して $F (s {\vec{v}}_{1} + t {\vec{v}}_{2}) = s F ({\vec{v}}_{1}) + t F ({\vec{v}}_{2})$ である。

仮定より $\vec{p} = {\vec{v}}_{1}$ と $\vec{p} = {\vec{v}}_{2}$ は条件（＊）を満たすので $F ({\vec{v}}_{1}) = c {\vec{v}}_{1}, F ({\vec{v}}_{2}) = c {\vec{v}}_{2}$ である。したがって $F (s {\vec{v}}_{1} + t {\vec{v}}_{2}) = s c {\vec{v}}_{1} + t c {\vec{v}}_{2} = c (s {\vec{v}}_{1} + t {\vec{v}}_{2})$ である。(1)より任意の座標平面上のベクトルは $s {\vec{v}}_{1} + t {\vec{v}}_{2}$ と表されるので、すべての $\vec{p}$ が条件（＊）を満たす。

(3) ${\vec{v}}_{3} = a {\vec{v}}_{1} + b {\vec{v}}_{2}$ より ${\vec{v}}_{3} = (3 a + b, 2 \sqrt{2} b)$ である。ここで $u = 3 a + b$ とおくと ${\vec{v}}_{3} = (u, 2 \sqrt{2} b)$ である。

任意の $\vec{p} = (X, Y)$ に対して左辺を成分で計算する。まず $({\vec{v}}_{1} \cdot \vec{p}) {\vec{v}}_{1} = 3 X (3, 0) = (9 X, 0)$ であり、 $({\vec{v}}_{2} \cdot \vec{p}) {\vec{v}}_{2} = (X + 2 \sqrt{2} Y) (1, 2 \sqrt{2}) = (X + 2 \sqrt{2} Y, 2 \sqrt{2} X + 8 Y)$ である。また $({\vec{v}}_{3} \cdot \vec{p}) {\vec{v}}_{3} = (u X + 2 \sqrt{2} b Y) (u, 2 \sqrt{2} b)$ だから、これは $(u^{2} X + 2 \sqrt{2} b u Y, 2 \sqrt{2} b u X + 8 b^{2} Y)$ である。

したがって左辺全体は $((10 + u^{2}) X + 2 \sqrt{2} (1 + b u) Y, 2 \sqrt{2} (1 + b u) X + (8 + 8 b^{2}) Y)$ である。これがすべての $(X, Y)$ について $c (X, Y)$ に等しいためには、 $X, Y$ の係数を比較して $1 + b u = 0$ かつ $10 + u^{2} = c, 8 + 8 b^{2} = c$ であることが必要十分である。よって $b u = - 1, u^{2} - 8 b^{2} = - 2$ である。 $b u = - 1$ より $b \neq 0$ で、 $u = - 1 / b$ である。これを $u^{2} - 8 b^{2} = - 2$ に代入すると $\frac{1}{b^{2}} - 8 b^{2} = - 2$ である。 $B = b^{2}$ とおくと $1 - 8 B^{2} = - 2 B$ すなわち $8 B^{2} - 2 B - 1 = 0$ である。因数分解して $(2 B - 1) (4 B + 1) = 0$ となる。 $B = b^{2} > 0$ だから $b^{2} = \frac{1}{2}$ である。 $b = 1 / \sqrt{2}$ のとき、 $u = - \sqrt{2}$ である。 $u = 3 a + b$ なので $3 a = - \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{3}{\sqrt{2}}$ より $a = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。 $b = - 1 / \sqrt{2}$ のとき、 $u = \sqrt{2}$ である。したがって $3 a = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ より $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。どちらの場合も $c = 8 + 8 b^{2} = 8 + 4 = 12$ である。

以上より $(a, b, c) = (- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 12), (\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}, 12)$ である。

総評

内積で定まる一次変換を、基底と成分比較で扱う問題である。(1)で ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}$ が平面全体を張ることを具体的に示すため、(2)では線形性だけで全ベクトルへ拡張できる。(3)は計算問題に見えるが、左辺が $c \vec{p}$ になるには非対角成分が0、2つの対角成分が同じ、という構造を意識すると整理しやすい。目安時間は25分程度で、 $u = 3 a + b$ と置いて式を短くするのが有効である。

出典: 大阪大学 2011年度前期日程数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

総評

大阪大学 2011年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問