大阪大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
まず $V_A$ を高さ $z$ の平面で切る。点 $P$ が線分 $OA$ 上にあるから、$0\leqq z\leqq 1$ に対して $$\overrightarrow{OP}=(z,0,z)$$ と表せる。また、$Q$ は平面 $z=0$ 上の中心 $O$、半径1の円板内を動くので、$$\overrightarrow{OQ}=(u,v,0),u^2+v^2\leqq 1$$ と書ける。したがって $R=(z+u,v,z)$ となり、高さ $z$ における $V_A$ の断面は $(x-z{)}^2+y^2\leqq 1$ で表される。これは中心 $(z,0)$、半径1の円板である。

同様に、$V_B$ については、線分 $OB$ 上の点 $P$ が $$\overrightarrow{OP}=(0,\sqrt{3}z,z)$$ と表されるので、高さ $z$ の断面は $x^2+(y-\sqrt{3}z{)}^2\leqq 1$ である。これは中心 $(0,\sqrt{3}z)$、半径1の円板である。

いま問題では $$z=\cos \theta ,0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$$ とおく。このとき2つの円板の中心間距離は $$\sqrt{(\cos \theta {)}^2+(\sqrt{3}\cos \theta {)}^2}=2\cos \theta$$ である。

切り口を平面上で見ると、次のような2円板の共通部分になる
（図は位置関係を示す模式図）。

したがって切り口は、中心間距離が $2\cos \theta$ である2つの単位円の共通部分である。2つの円の交点とそれぞれの中心を結ぶと、各円で中心角 $2\theta$ の扇形から、面積 $\frac{1}{2}\sin 2\theta$ の二等辺三角形を引いた部分ができる。それが2つあるから、切り口の面積は $$2(\theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta )=2\theta -\sin 2\theta$$ である。

(2)
体積は、(1)で求めた断面積を $z$ について $0$ から $1$ まで積分すればよい。$z=\cos \theta$ とおくと $$dz=-\sin \theta d\theta$$ であり、$z=0$ のとき $\theta =\pi \mathrm{/}2$、$z=1$ のとき $\theta =0$ である。したがって$$V={\int }_0^1\{\text{高さ }z\text{ の断面積}\}dz={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(2\theta -\sin 2\theta )\sin \theta d\theta$$である。

まず、部分積分により$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}2\theta \sin \theta d\theta ={[-2\theta \cos \theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}2}+{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}2\cos \theta d\theta =2$$である。また、$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin 2\theta \sin \theta d\theta ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}2{\sin }^2\theta \cos \theta d\theta$$であり、$w=\sin \theta$ とおくと$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}2{\sin }^2\theta \cos \theta d\theta ={\int }_0^{1}2w^{2}dw=\frac{2}{3}$$である。

よって $V=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$ である。