大阪大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第3問

(1) 三角形 $ABC$ は $A$ を直角とする三角形である．$P=(x,y,0)$ とすると，$P$ が三角形の周または内部にあるための条件は$$x\geqq -2,y\geqq -2,3x+4y\leqq 10\text{である．}$$ここで$$u={\displaystyle \frac{x+2}{8}},v={\displaystyle \frac{y+2}{6}}$$とおくと $u,v\geqq 0$ であり，最後の不等式から $u+v\leqq 1$ である．また$$P=A+u(B-A)+v(C-A)\mathrm{.}$$したがって $\alpha =1-u-v$，$\beta =u$，$\gamma =v$ とおけば，3数は0以上で和が1となり$$\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}+\gamma \overrightarrow{OC}$$と表される．

(2) 球 $S$ の中心を $H=(0,0,4)$ とする．球内の点 $Q$ は$$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OH}+2\vec{r}(\mathrm{\mid }\vec{r}\mathrm{\mid }\leqq 1)$$と表せる．(1)の表示を用いると，中点 $M$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OM}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\alpha {\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OH}}{2}}+\beta {\displaystyle \frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OH}}{2}}+\gamma {\displaystyle \frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OH}}{2}}+\vec{r}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$A^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{A+H}{2}}=(-1,-1,2),B^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{B+H}{2}}=(3,-1,2),C^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{C+H}{2}}=(-1,2,2)$$とすれば $V$ の全ての点は $W$ に属する．逆に，この表示を満たす係数と $\vec{r}$ から (1) の点 $P$ と球内の点 $Q=H+2\vec{r}$ を作れば，その中点が $R$ になる．よって $V=W$ である．

(3) 三角形 $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ は辺の長さが3，4，5の直角三角形であり，面積は6，周の長さは12である．平面 $z=2+h$ で $V$ を切る．ただし $-1\leqq h\leqq 1$ とする．この断面は，三角形 $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ を平面内で$$\rho =\sqrt{1-h^2}$$だけ外側へ広げた図形である．

この平面図形は，もとの三角形，3辺に沿う幅 $\rho$ の長方形，および3頂点の外側にできる扇形に分けられる．外角の和は $2\pi$ なので扇形の面積の和は $\pi {\rho }^2$ である．したがって断面積は$$6+12\rho +\pi {\rho }^2=6+12\sqrt{1-h^2}+\pi (1-h^2)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \text{立体 }V\text{ の体積}}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\{6+12\sqrt{1-h^2}+\pi (1-h^2)\}dh}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12+12\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi \cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12+{\displaystyle \frac{22\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$水平断面の形

(1) (2)で立体 $V$ が三角形 $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ と単位球の和であることを確認する．体積は水平断面積分ではなく，三角柱，3辺に沿う半円柱，3頂点に付く球形の扇形へ重複なく分解して求める．

(1) $$A+u(B-A)+v(C-A)=(-2+8u,-2+6v,0)$$とおく．三角形 $ABC$ の周または内部では$$u\geqq 0,v\geqq 0,u+v\leqq 1$$である．そこで$$\alpha =1-u-v,\beta =u,\gamma =v$$とすれば，3数は0以上で和が1となり$$\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}+\gamma \overrightarrow{OC}$$を得る．

(2)

球の中心を $H=(0,0,4)$ とすると$$Q=H+2\vec{r},\mathrm{\mid }\vec{r}\mathrm{\mid }\leqq 1$$と書ける．したがって中点 $M$ は$$M=\alpha {\displaystyle \frac{A+H}{2}}+\beta {\displaystyle \frac{B+H}{2}}+\gamma {\displaystyle \frac{C+H}{2}}+\vec{r}$$である．よって$$A^{\mathrm{\prime }}=(-1,-1,2),B^{\mathrm{\prime }}=(3,-1,2),C^{\mathrm{\prime }}=(-1,2,2)$$とすればよい．逆向きも同じ式から成り立つので $V=W$ である．

(3)

三角形 $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ は辺長 $3,4,5$，面積6，周長12の直角三角形である．$V$ はこの三角形から距離1以下にある点全体であり，次の3種類へ分解できる．$$\begin{array}{cc}\text{部分}& \text{体積}\\ \text{三角形を上下に厚さ1ずつ広げた三角柱}& 2\cdot 6=12\\ \text{3辺に沿う半円柱}& {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot 12=6\pi \\ \text{3頂点に付く球形の扇形}& {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\end{array}$$最後の球形部分は，平面三角形の外角の和が $2\pi$ であるため，3頂点分を合わせると単位球1個分になる．したがって$$\mathrm{Vol}(V)=12+6\pi +{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}=12+{\displaystyle \frac{22\pi }{3}}$$である．