大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$t>0$ を固定し、$$g(x)=1+x-t\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ とおく。条件（ア）は、すべての実数 $x$ に対して $f(t)\geqq g(x)$ が成り立つことを表している。さらに条件（イ）より等号を満たす実数 $x$ が存在するので、$f(t)$ は $g(x)$ の最大値である。

導関数を求めると $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=1-t\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ であり、$$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-t\frac{e^x+e^{-x}}{2}<0$$ である。したがって $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調に減少し、$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ を満たす点があればそこで最大値をとる。

最大点を求める。$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ より $$t\frac{e^x-e^{-x}}{2}=1$$ である。ここで $u=e^x(u>0)$ とおくと $$t\frac{u-u^{-1}}{2}=1$$ すなわち $$u^2-\frac{2}{t}u-1=0$$ となる。この2次方程式の解は $$u=\frac{1\pm \sqrt{1+t^2}}{t}$$ であるが、$$\sqrt{1+t^2}>1$$ より、負号の解は負である。したがって $$u=\frac{1+\sqrt{1+t^2}}{t}$$ であり、最大点の $x$ は $$x=\log \frac{1+\sqrt{1+t^2}}{t}$$ である。

この最大点では $$\frac{t}{2}(u+\frac{1}{u})=\sqrt{1+t^2}$$ が成り立つ。実際、$t(u-u^{-1})\mathrm{/}2=1$ だから、右辺の正の値として$${\left\{\frac{t}{2}(u+\frac{1}{u})\right\}}^2={\left\{\frac{t}{2}(u-\frac{1}{u})\right\}}^2+t^2=1+t^2$$となる。

よって最大値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(t)}& {\displaystyle =1+x-t\frac{e^x+e^{-x}}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\log \frac{1+\sqrt{1+t^2}}{t}-\sqrt{1+t^2}}\end{array}$$である。したがって $$f(t)=1+\log \frac{1+\sqrt{1+t^2}}{t}-\sqrt{1+t^2}$$ である。