大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $x+y=c$であるから$$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1+\frac{x+y+1}{xy}=1+\frac{c+1}{xy}$$である。正の実数$x,y$について，和が$c$に固定されているとき $$xy\leqq {\left(\frac{c}{2}\right)}^2$$ であり，等号は$x=y=c\mathrm{/}2$のときに成り立つ。したがって$(c+1)\mathrm{/}(xy)$は$xy$が最大のときに最小となるので，求める最小値は である。

(2) $z$を固定する。$0<z<1$であり，$x+y=1-z$である。(1)を$c=1-z$として用いると，$$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\geqq 1+\frac{4(2-z)}{(1-z{)}^2}$$であり，等号は $$x=y=\frac{1-z}{2}$$ のときに成り立つ。

一方，$0<z<1$では $$1-\frac{4}{3z}<0$$ である。したがって全体の積を最大にするには，正である前半2因子の積をできるだけ小さくすればよい。よって最大値の候補は $$x=y=\frac{1-z}{2}$$ のときに得られる。

このとき与式の値を$F(z)$とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(z)}& {\displaystyle =\{1+\frac{4(2-z)}{(1-z{)}^2}\}(1-\frac{4}{3z})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(z-3{)}^2(3z-4)}{3z(z-1{)}^2}}\end{array}$$である。$0<z<1$で微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(z)=\frac{4(z-3)(2z-3)(2z-1)}{3z^2(z-1{)}^3}$$ である。$0<z<1$では$z-3<0$，$2z-3<0$，$z-1<0$なので，$F^{\mathrm{\prime }}(z)$の符号は$z=1\mathrm{/}2$を境に正から負へ変わる。したがって$F(z)$は$z=1\mathrm{/}2$で最大となる。

よって最大値はである。このとき $$z=\frac{1}{2},x=y=\frac{1}{4}$$ で等号が成り立つ。

(1) は相加相乗平均から$1\mathrm{/}x+1\mathrm{/}y$と$1\mathrm{/}(xy)$を同時に評価する。(2)は負号を外して正の式の最小値問題へ変換し，まず(1)の等号条件で$x=y$に絞る。残る$z$の式は，目標値との差を平方因子へ分解して微分せずに評価する。

(1) $x+y=c$より$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{c}{xy}\mathrm{.}$$また相加相乗平均から$xy\leqq c^2\mathrm{/}4$なので$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqq \frac{4}{c},\frac{1}{xy}\geqq \frac{4}{c^2}\mathrm{.}$$したがって等号は$x=y=c\mathrm{/}2$のときに成り立つ。

(2) 与式を$P$とする。$0<z<1$なので$$P=-(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\frac{4-3z}{3z}\mathrm{.}$$ここで$x+y=1-z$だから，(1)より$$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})\geqq \frac{(3-z{)}^2}{(1-z{)}^2},$$等号は$x=y=(1-z)\mathrm{/}2$で成り立つ。$(4-3z)\mathrm{/}(3z)>0$より$$-P\geqq \frac{(3-z{)}^2(4-3z)}{3z(1-z{)}^2}\mathrm{.}$$さらに$$\frac{(3-z{)}^2(4-3z)}{3z(1-z{)}^2}-\frac{125}{3}=\frac{4(2z-1{)}^2(9-8z)}{3z(1-z{)}^2}\geqq 0$$である。したがって$-P\geqq 125\mathrm{/}3$，すなわち等号は$z=1\mathrm{/}2$かつ$x=y=(1-z)\mathrm{/}2=1\mathrm{/}4$のときに成り立つので，これが最大値である。