大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$h=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ とおく。定義から $$f_2(x)=\sin \pi (h-x),f_3(x)=\sin \pi (h+x)$$ である。これを繰り返すと，正の整数$k$について $$f_{2k}(x)=\sin \{\pi (kh-x)\},f_{2k+1}(x)=\sin \{\pi (kh+x)\}$$ が成り立つ。したがって $$f_{2k}(0)=f_{2k+1}(0)=\sin (k\pi h)$$ である。

(1) $a=2,b=3$のとき $$h=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$$ である。よって である。

(2) $a=1,b=6$のとき $h=1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$ であるから，求める和は $$\sum _{k=1}^{100}(-1{)}^k\sin \frac{7k\pi }{6}$$ である。$\sin (7k\pi \mathrm{/}6)$は$k$について周期12をもち，$(-1{)}^k$も周期2をもつので，積全体は周期12をもつ。

1周期分の和は $$\sum _{k=1}^{12}(-1{)}^k\sin \frac{7k\pi }{6}=0$$ である。実際，$k$と$k+6$の項は$$(-1{)}^{k+6}\sin (\frac{7k\pi }{6}+7\pi )=-(-1{)}^k\sin \frac{7k\pi }{6}$$となり，互いに打ち消し合う。 $100=12\cdot 8+4$なので，最初の4項だけを足せばよい。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle -\sin \frac{7\pi }{6}+\sin \frac{7\pi }{3}-\sin \frac{7\pi }{2}+\sin \frac{14\pi }{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{<mrow><mfrac><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mn\; mathvariant="bold">2</mn></mfrac><mo\; mathvariant="bold-italic">+</mo><msqrt><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msqrt></mrow>}}\end{array}$$である。

(3) $f_6(0)$は$2k=6$，すなわち$k=3$の場合なので $$f_6(0)=\sin (3\pi h)=\sin \pi (\frac{3}{a}+\frac{3}{b})$$ である。したがって$f_6(0)=0$となる条件は $\frac{3}{a}+\frac{3}{b}$ が整数であること。 $1\leqq a,b\leqq 6$でこれを満たす順序つきの組は $(1,1),(1,3),(2,2),(2,6),$ $(3,1),(3,3),(6,2),(6,6)$ の8通りである。全事象は36通りなので，求める確率は $\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">9</mn></mfrac>}$ である。

定義（イ）（ウ）を合成して，奇数番の関数が引数の平行移動で得られることを示す。(2)では$(-1{)}^k$を正弦の位相$k\pi$へ吸収すると，和が$\sum \sin (k\pi \mathrm{/}6)$へ簡単化する。(3)は$3\mathrm{/}a$の小数部分だけを分類して数える。

$h=1\mathrm{/}a+1\mathrm{/}b$とおく。定義より$$f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x)=f_{2n-1}(h+x)$$である。したがって$f_1(x)=\sin \pi x$から帰納的に$$\begin{array}{cccc}& f_{2n+1}(x)=\sin \pi (x+nh),f_{2n}(x)=\sin \pi (nh-x)& & \text{(1)}\end{array}$$を得る。

(1) $a=2,b=3$では$h=5\mathrm{/}6$だから(2) $a=1,b=6$では$h=7\mathrm{/}6$である。(1)より求める和は$$\sum _{k=1}^{100}(-1{)}^k\sin \frac{7k\pi }{6}$$である。整数$k$について$$(-1{)}^k\sin \frac{7k\pi }{6}=\sin (\frac{7k\pi }{6}+k\pi )=\sin \frac{k\pi }{6}$$となる。この数列は周期12で，1周期の和は0である。$100=12\cdot 8+4$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{100}\sin \frac{k\pi }{6}}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^4\sin \frac{k\pi }{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{<mrow><mfrac><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mn\; mathvariant="bold">2</mn></mfrac><mo\; mathvariant="bold-italic">+</mo><msqrt><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msqrt></mrow>}\mathrm{.}}\end{array}$$(3) $f_6(0)=0$の条件は$3\mathrm{/}a+3\mathrm{/}b$が整数になることである。$a=1,2,3,4,5,6$に対する$3\mathrm{/}a$の小数部分は$$0,\frac{1}{2},0,\frac{3}{4},\frac{3}{5},\frac{1}{2}\mathrm{.}$$和が整数になるのは$a,b$がともに$\{1,3\}$に属する場合，またはともに$\{2,6\}$に属する場合で，合計8通りである。したがって確率は$$\mathrm{<mrow><mfrac><mn\; mathvariant="bold">8</mn><mn\; mathvariant="bold">36</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">9</mn></mfrac></mrow>}$$である。