問題
を正の実数とし，
とする．
(1) 実数 に対して が で割り切れるとする．このとき であり，さらに
で割り切れることを示せ．
(2) が4個の実数根をもつとき， を示せ．
(3) とする． が4個の実数根をもつような自然数 をすべて求めよ．
方針
解法1
相反多項式の根を逆数の組に分ける。(1) で実根が正であることと逆数も根であることを確認し、(2) では4根の積が1であることから相加平均・相乗平均を使う。(3) では逆数対ごとの和を と置き、係数条件と を組み合わせる。
解法2
多項式を で割り、 によって四次方程式を二次方程式へ落とす。実数根に対応する条件 を一貫して使えば、3つの設問を同じ見方で処理できる。
解答
解法1
(1)
だから である。 を で割ると
を得る。もし なら、左辺の3項はすべて正となって矛盾する。よって である。さらに
だから も根であり、 は で割り切れる。
(2)
(1) から4個の実根 はすべて正である。解と係数の関係より
だから、相加平均・相乗平均より
となる。
(3)
4個の根を と書き、
と置く。 であり、
だから、係数比較により
を得る。 かつ和が5なので
である。自然数 は に限られる。実際、
は4個の実根をもつ。したがって である。
解法2
(1)
なら であり、 と置いて
を得る。もし なら であるが、 より
となって矛盾する。よって である。また と は同じ に対応するので、 も根である。
(2)
4個の実根は (1) により正であり、その積は定数項から1である。したがって
である。
(3)
として を で割ると
となる。すなわち は
を満たす。この二次方程式の2根を とする。各 から の実根が2個ずつ得られるための必要十分条件は である。解と係数の関係から
であり、よって
となる。自然数は のみで、実際には
と因数分解できる。ゆえに である。