大阪大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $f(0)=1$ だから $c\mathrm{\ne }0$ である。$f(c)=0$ を $c^2$ で割ると$$c^2+\frac{1}{c^2}-a(c+\frac{1}{c})+b=0$$を得る。もし $c<0$ なら、左辺の3項はすべて正となって矛盾する。よって $c>0$ である。さらに$$f\left(\frac{1}{c}\right)=\frac{f(c)}{c^4}=0$$だから $1\mathrm{/}c$ も根であり、$f(x)$ は $(x-c)(x-1\mathrm{/}c)$ で割り切れる。

(2) (1) から4個の実根 $s,t,u,v$ はすべて正である。解と係数の関係より$$s+t+u+v=a,stuv=1$$だから、相加平均・相乗平均より$$a=s+t+u+v\geqq 4\sqrt[4]{stuv}=4$$となる。

(3) 4個の根を $r,1\mathrm{/}r,s,1\mathrm{/}s$ と書き、$$\alpha =r+\frac{1}{r},\beta =s+\frac{1}{s}$$と置く。$\alpha ,\beta \geqq 2$ であり、$$f(x)=(x^2-\alpha x+1)(x^2-\beta x+1)$$だから、係数比較により$$\alpha +\beta =5,b=\alpha \beta +2$$を得る。$\alpha ,\beta \geqq 2$ かつ和が5なので$$6\leqq \alpha \beta \leqq \frac{25}{4},8\leqq b\leqq \frac{33}{4}$$である。自然数 $b$ は $8$ に限られる。実際、$$x^4-5x^3+8x^2-5x+1=(x-1{)}^2(x^2-3x+1)$$は4個の実根をもつ。したがって $b=8$ である。

多項式を $x^2$ で割り、$z=x+1\mathrm{/}x$ によって四次方程式を二次方程式へ落とす。実数根に対応する条件 $z\geqq 2$ を一貫して使えば、3つの設問を同じ見方で処理できる。

(1) $f(c)=0$ なら $c\mathrm{\ne }0$ であり、$z=c+1\mathrm{/}c$ と置いて$$z^2-az+b-2=0$$を得る。もし $c<0$ なら $z\leqq -2$ であるが、$a,b>0$ より$$z^2-az+b-2\geqq 4+2a+b-2>0$$となって矛盾する。よって $c>0$ である。また $c$ と $1\mathrm{/}c$ は同じ $z$ に対応するので、$1\mathrm{/}c$ も根である。

(2) 4個の実根は (1) により正であり、その積は定数項から1である。したがって$$a=s+t+u+v\geqq 4\sqrt[4]{stuv}=4$$である。

(3) $x\mathrm{\ne }0$ として $f(x)=0$ を $x^2$ で割ると$${(x+\frac{1}{x})}^2-5(x+\frac{1}{x})+b-2=0$$となる。すなわち $z=x+1\mathrm{/}x$ は$$z^2-5z+b-2=0$$を満たす。この二次方程式の2根を $\alpha ,\beta$ とする。各 $z$ から $x^2-zx+1=0$ の実根が2個ずつ得られるための必要十分条件は $\alpha ,\beta \geqq 2$ である。解と係数の関係から$$\alpha +\beta =5,\alpha \beta =b-2$$であり、よって$$6\leqq b-2\leqq \frac{25}{4}$$となる。自然数は $b=8$ のみで、実際には$$f(x)=(x-1{)}^2(x^2-3x+1)$$と因数分解できる。ゆえに $b=8$ である。