大阪大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(t)=2\cos t(1-2\sin t)$$であり、$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $t=\pi \mathrm{/}6$ で増加から減少へ変わる。したがって$$\max f(t)=f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{2}$$である。また$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=2(1+\sin t)(1-2\sin t)$$も同じ点で符号が正から負へ変わるので、$$\max g(t)=g\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$である。

(2) $s_i=\sin t_i$ と置く。$t_1<t_2$ より $s_1<s_2$ である。また$$f(t)=1+2s-2s^2$$だから、$f(t_1)=f(t_2)$ より$$2(s_1-s_2)(1-s_1-s_2)=0$$となり、$s_1+s_2=1$ を得る。一方、$$g(t{)}^2=4(1-s)(1+s{)}^3$$であるから、$s_2=1-s_1$ を代入すると$$g(t_1{)}^2-g(t_2{)}^2=-4(2s_1-1{)}^3$$となる。$s_1<s_2$ かつ和が1なので $2s_1-1<0$ であり、求める差は正である。

(3) $t=0,\pi \mathrm{/}2$ で $x=f(t)=1$ となる。(2) により、同じ横座標に対応する2点では小さい $t$ の点が上側にある。曲線と領域の位置関係は次の通りである。

したがって面積は$$S=-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\{f(t)-1\}{g}^{\mathrm{\prime }}(t)dt$$である。被積分関数を整理すると$$-\{f(t)-1\}{g}^{\mathrm{\prime }}(t)=-8{\sin }^{4}t+4{\sin }^{3}t+8{\sin }^{2}t-4\sin t$$となる。さらに$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin tdt=1,{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}tdt=\frac{\pi }{4},{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{3}tdt=\frac{2}{3},{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{4}tdt=\frac{3\pi }{16}$$だから$$S=-8\cdot \frac{3\pi }{16}+4\cdot \frac{2}{3}+8\cdot \frac{\pi }{4}-4=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{3}$$である。

$s=\sin t$ により (1)(2) の代数構造を整理する。(3) では面積積分を展開せず、部分積分で $f^{\mathrm{\prime }}(t)g(t)$ の積分へ移して計算を短くする。

(1) $s=\sin t$ と置くと $0\leqq s\leqq 1$ であり、$$f(t)=1+2s-2s^2=\frac{3}{2}-2{(s-\frac{1}{2})}^2$$だから最大値は $3\mathrm{/}2$ である。また$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=2(1+s)(1-2s)$$より $g$ は $s=1\mathrm{/}2$、すなわち $t=\pi \mathrm{/}6$ で最大となり、その値は $3\sqrt{3}\mathrm{/}2$ である。

(2) $s_i=\sin t_i$ とする。$f(t_1)=f(t_2)$ を平方完成した式に適用し、$s_1<s_2$ を使うと $s_1+s_2=1$ である。また$$g(t{)}^2=4(1-s)(1+s{)}^3$$なので$$g(t_1{)}^2-g(t_2{)}^2=-4(2s_1-1{)}^3>0$$を得る。

(3) 面積は$$S=-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\{f(t)-1\}{g}^{\mathrm{\prime }}(t)dt$$である。端点では $f(t)-1=0$ だから、部分積分により$$S={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{f}^{\mathrm{\prime }}(t)g(t)dt$$となる。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(t)g(t)}& {\displaystyle =4{\cos }^{2}t(1-2\sin t)(1+\sin t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(1-\sin t-3{\sin }^{2}t+{\sin }^{3}t+2{\sin }^{4}t)}\end{array}$$である。したがって$$S=4(\frac{\pi }{2}-1-3\cdot \frac{\pi }{4}+\frac{2}{3}+2\cdot \frac{3\pi }{16})=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{3}$$を得る。