大阪大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

$0 < p < 1$ 、 $0 < q < 1$ とし、2つのチームA、Bが引き分けなしで $n$ 回の試合を行う。第1試合でAが勝つ確率は $p$ である。Aが勝った直後の試合でAが勝つ確率は $p$ 、Bが勝った直後の試合でAが勝つ確率は $q$ である。

(1) 第 $n$ 試合でAが勝つ確率 $a_{n}$ を求めよ。

(2) $n ≧ 3$ とする。Bが連勝せず、かつちょうど2試合に勝つ確率 $b_{n}$ を求めよ。

出典：大阪大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1

(1) は直前の勝者で場合分けして一次漸化式を立て、定数解を引く。(2) はBが勝つ2試合の位置 $i < j$ を選ぶ。最後のB勝ちが第 $n$ 試合かどうかで、その直後に必要なA勝ちの確率 $q$ の個数が変わるため分けて数える。

解法2

Bの勝数と直前の勝者を同時に状態として持つ。ちょうど $r$ 勝して直前がAまたはBである確率を分けた漸化式を作れば、位置を直接列挙せずに (2) の式が導ける。

解答

解法1

(1)

第 $n$ 試合でAが勝つ確率を $a_{n}$ とする。直前の勝者で分けると

a_{n + 1} = p a_{n} + q (1 - a_{n}) = q + (p - q) a_{n}

である。定数解

α = \frac{q}{1 - p + q}

を引けば

a_{n + 1} - α = (p - q) (a_{n} - α)

となる。 $a_{1} = p$ だから

a_{n} = \frac{q}{1 - p + q} + (p - \frac{q}{1 - p + q}) (p - q)^{n - 1}

である。

(2)

Bが勝つ2試合を第 $i$ 試合、第 $j$ 試合とする。 $i < j$ とすれば、連勝しない条件は $j ≧ i + 2$ である。

まず $j < n$ の場合、2回のB勝ちの直後はいずれもA勝ちでなければならない。各配置の確率は

(1 - p)^{2} q^{2} p^{n - 4}

である。条件を満たす配置数は

i = 1 \sum n - 3 (n - i - 2) = 1 + 2 + \dots + (n - 3) = \frac{( n - 2 ) ( n - 3 )}{2}

である。

次に $j = n$ の場合、最後のB勝ちの後には試合がないため、 $q$ は1個だけ現れる。各配置の確率は

(1 - p)^{2} q p^{n - 3}

であり、 $i = 1, 2, \dots, n - 2$ の $n - 2$ 通りがある。したがって

b_{n} = \frac{( n - 2 ) ( n - 3 )}{2} (1 - p)^{2} q^{2} p^{n - 4} + (n - 2) (1 - p)^{2} q p^{n - 3}

である。 $n = 3$ でも第1項は0となり、この式をそのまま使える。

解法2

(1)

状態A、Bの確率ベクトルを使うと

(a_{n + 1} 1 - a_{n + 1}) = (p 1 - p q 1 - q) (a_{n} 1 - a_{n})

である。第1成分から

a_{n + 1} = q + (p - q) a_{n}

を得るので、定常値 $q / (1 - p + q)$ を引いて

a_{n} = \frac{q}{1 - p + q} + (p - \frac{q}{1 - p + q}) (p - q)^{n - 1}

となる。

(2)

第 $k$ 試合までにBがちょうど $r$ 勝し、かつ第 $k$ 試合の勝者がA、Bである確率をそれぞれ

A_{k}^{(r)}, B_{k}^{(r)}

とする。ただしBの連勝を含む列は数えない。このとき

A_{k + 1}^{(r)} = p A_{k}^{(r)} + q B_{k}^{(r)}, B_{k + 1}^{(r)} = (1 - p) A_{k}^{(r - 1)}

である。初期条件 $A_{1}^{(0)} = p$ 、 $B_{1}^{(1)} = 1 - p$ から

A_{k}^{(0)} = p^{k}, B_{k}^{(1)} = (1 - p) p^{k - 1}, A_{k}^{(1)} = (k - 1) (1 - p) q p^{k - 2}

を得る。よって

B_{n}^{(2)} = (1 - p) A_{n - 1}^{(1)} = (n - 2) (1 - p)^{2} q p^{n - 3}

である。また漸化式

A_{n}^{(2)} = p A_{n - 1}^{(2)} + q B_{n - 1}^{(2)}

に上式を代入し、 $A_{3}^{(2)} = 0$ から帰納すると

A_{n}^{(2)} = \frac{( n - 2 ) ( n - 3 )}{2} (1 - p)^{2} q^{2} p^{n - 4}

となる。求める確率は直前の勝者を問わないので

b_{n} = A_{n}^{(2)} + B_{n}^{(2)} = \frac{( n - 2 ) ( n - 3 )}{2} (1 - p)^{2} q^{2} p^{n - 4} + (n - 2) (1 - p)^{2} q p^{n - 3}

である。

大阪大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

大阪大学 2018年度
理系数学第5問