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大阪大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

以下の問いに答えよ．ただし，log⁡は自然対数，eはその底とする．

(1) bを実数とする．関数f(x)=∫xbe−t22dt−xx2+1e−x22は単調に減少することを示せ．

(2) a≦bを満たす正の実数a，bに対し，不等式aa2+1e−a22−bb2+1e−b22≦∫abe−t22dt≦e−a22(b−a)が成り立つことを示せ．

(3) 数列{In}を次のように定める．In=∫12e−nt22dt(n=1, 2, 3, ⋯ )このとき極限lim⁡n→∞1nlog⁡Inを求めよ．ただし，lim⁡n→∞1nlog⁡(n+1)=0を用いてもよい．

難易度7/ 10計算量6/ 10目安24分

積分、指数・対数、関数　定積分評価、不等式評価、はさみうち

方針

(1) は積分の下端微分と積の微分をまとめる。(2)の下側は(1)の単調性、上側は被積分関数の最大値から示す。(3)では u=n t と変数変換し、(2)をそのまま適用して指数の主要項を挟む。

解答

(1)
微分するとddx∫xbe−t2/2 dt=−e−x2/2である。またddx(xx2+1e−x2/2)=1−x2(x2+1)2e−x2/2−x2x2+1e−x2/2=1−2x2−x4(x2+1)2e−x2/2だからf′(x)=−2(x2+1)2e−x2/2<0である。よって f は単調に減少する。

(2)
a≦b より f(a)≧f(b) である。これを展開するとaa2+1e−a2/2−bb2+1e−b2/2≦∫abe−t2/2 dtを得る。

一方、a≦t≦b かつ a>0 なのでe−t2/2≦e−a2/2である。したがって∫abe−t2/2 dt≦∫abe−a2/2 dt=e−a2/2(b−a)となる。

(3) u=n t と変数変換するとIn=1n∫n2ne−u2/2 duである。(2)で a=n,b=2n とすればIn≦e−n/2であり、またIn≧e−n/2n+1−2e−2n4n+1=e−n/2n+1{1−2(n+1)4n+1e−3n/2}である。n≧1 では括弧内は 1/2 より大きいのでe−n/22(n+1)<In≦e−n/2となる。対数を取り n で割ると−12−log⁡{2(n+1)}n<1nlog⁡In≦−12である。よって、はさみうちによりlim⁡n→∞1nlog⁡In=−12を得る。

別解

解法2

方針

(1) (2)は導関数の符号と被積分関数の単調性で確認する。(3)は設問(2)を使わず、積分区間全体での上界と、左端に接する長さ 1/n の短区間での下界を作る。

解答

(1)
解法1と同じ微分計算によりf′(x)=−2e−x2/2(x2+1)2<0であるから、f は単調に減少する。

(2)
下側の不等式は f(a)≧f(b) を整理すれば得られる。上側は、e−t2/2 が正の範囲で減少するので∫abe−t2/2 dt≦e−a2/2(b−a)である。

(3)
1≦t≦2 ではe−nt2/2≦e−n/2だからIn≦e−n/2である。

一方、1≦t≦1+1/n ではt2≦(1+1n)2なのでIn≧∫11+1/ne−nt2/2 dt≧1nexp⁡{−n2(1+1n)2}である。よって−12(1+1n)2−log⁡nn≦1nlog⁡In≦−12となる。両端は −1/2 に収束するからlim⁡n→∞1nlog⁡In=−12である。

総評

難度7、目安時間24分。(1)では積分の下端微分と積の微分の符号を正確に処理する。(3)は、設問(2)を使う変数変換法と、左端付近の短区間を使う直接評価の両方で指数の主要項が −n/2 であることを確認できる。積分を含む主要式はすべて別行に置き、対数を取る前に下界が正であることも明示した。

冊子PDFで見る阪大の積分の問題で問題集を作る

出典: 大阪大学 2019年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。