大阪大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
$a=4,b=3$ のとき$$w=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$である。漸化式から$$\begin{array}{cc}n& z_n\\ 1& 1\\ 2& {\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\\ 3& 1-\sqrt{3}i\\ 4& -\sqrt{3}i\\ 5& -{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\\ 6& 0\\ 7& 1\end{array}$$を得る。

したがって、できる図形は正六角形である。

(2)
特性方程式は$$r^2-(1-w)r-w=(r-1)(r+w)=0$$である。$w\mathrm{\ne }-1$ のとき、初期条件から$$z_n=\frac{1-(-w{)}^n}{1+w}$$を得る。$a=2,b=1$ では $w=i$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_{63}}& {\displaystyle =\frac{1-(-i{)}^{63}}{1+i}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-i}{1+i}=-i}\end{array}$$である。

(3)
まず $w\mathrm{\ne }-1$ とする。一般項から$$z_{63}=0⟺(-w{)}^{63}=1⟺w^{63}=-1$$である。よって$$\frac{63a}{b+3}\text{ が奇数}$$であればよい。$1\leqq a,b\leqq 6$ で候補を整理すると$$\begin{array}{cc}b& a\\ 1& 4\\ 2& 5\\ 3& 2,6\\ 4& 1,3,5\\ 5& \text{なし}\\ 6& 1,3,5\end{array}$$となり、全部で10組である。

ただし $(a,b)=(4,1),(5,2),(6,3)$ では $w=-1$ である。この場合は$$z_n=2z_{n-1}-z_{n-2},z_1=1,z_2=2$$より $z_n=n$ となるため除く。したがって有効な出目は7組で、確率は$$\frac{7}{36}$$である。

階差 $d_n=z_n-z_{n-1}$ を取ると、1次の等比数列になる。これを和に戻して一般項を得る。(1)では辺ベクトルの長さと回転角から正六角形を示し、(2)(3)は等比和の式へ直接代入する。

(1) $$d_n=z_n-z_{n-1}$$とおくと、漸化式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d_n}& {\displaystyle =-w(z_{n-1}-z_{n-2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-w{d}_{n-1}}\end{array}$$である。$d_2=-w$ だから$$d_n=(-w{)}^{n-1}$$となる。$a=4,b=3$ では$$-w=\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3})$$である。したがって各辺 $d_2,d_3,\dots ,d_7$ は長さ1で、直前の辺から $-\pi \mathrm{/}3$ ずつ回転する。6辺の和は0だから、解法1の図の正六角形が得られる。

(2)
$w\mathrm{\ne }-1$ なら$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_n}& {\displaystyle =z_1+\sum _{k=2}^n{d}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\sum _{j=1}^{n-1}(-w{)}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-(-w{)}^n}{1+w}}\end{array}$$である。$w=i$ を代入すると$$z_{63}=\frac{1-i}{1+i}=-i$$となる。

(3)
$w\mathrm{\ne }-1$ では$$z_{63}=0⟺w^{63}=-1$$である。これを出目36組について調べると、解法1の表にある10組を得る。そのうち $w=-1$ となる3組では、階差が$$d_n=d_{n-1}=1$$となり $z_n=n$ だから条件を満たさない。よって確率は$$\frac{10-3}{36}=\frac{7}{36}$$である。