大阪大学 2019年度理系数学第2問解答・解説

問題

自然数 $a$ ， $b$ に対し，

w = cos \frac{aπ}{3 + b} + i sin \frac{aπ}{3 + b}

とおく．ただし， $i$ は虚数単位とする．複素数 $z_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を以下のように定める．

z_{1} = 1, z_{2} = 1 - w, z_{n} = (1 - w) z_{n - 1} + w z_{n - 2} (n = 3, 4, 5, \dots)

このとき以下の問いに答えよ．

(1) $a = 4$ ， $b = 3$ のとき，複素数平面上の点 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}, z_{6}, z_{7}$ をこの順に線分で結んでできる図形を図示せよ．

(2) $a = 2$ ， $b = 1$ のとき， $z_{63}$ を求めよ．

(3) さいころを2回投げ，1回目に出た目を $a$ ，2回目に出た目を $b$ とする．このとき $z_{63} = 0$ である確率を求めよ．

出典：大阪大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

解法1

特性方程式を因数分解し、 $w \neq = - 1$ の一般項を求める。 $w = - 1$ は重解になるため別に扱う。(1)は7点を計算して正六角形を描き、(3)は $w^{63} = - 1$ を満たす出目を表で数えて例外を除く。

解法2

階差 $d_{n} = z_{n} - z_{n - 1}$ を取ると、1次の等比数列になる。これを和に戻して一般項を得る。(1)では辺ベクトルの長さと回転角から正六角形を示し、(2)(3)は等比和の式へ直接代入する。

解答

解法1

(1)

$a = 4, b = 3$ のとき

w = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

である。漸化式から

n 1234567 z_{n} 1 \frac{3}{2} - \frac{3}{2} i 1 - 3 i - 3 i - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i 01

を得る。

したがって、できる図形は正六角形である。

(2)

特性方程式は

r^{2} - (1 - w) r - w = (r - 1) (r + w) = 0

である。 $w \neq = - 1$ のとき、初期条件から

z_{n} = \frac{1 - ( - w ) ^{n}}{1 + w}

を得る。 $a = 2, b = 1$ では $w = i$ なので

z_{63} = \frac{1 - ( - i ) ^{63}}{1 + i} = \frac{1 - i}{1 + i} = - i

である。

(3)

まず $w \neq = - 1$ とする。一般項から

z_{63} = 0 ⟺ (- w)^{63} = 1 ⟺ w^{63} = - 1

である。よって

\frac{63 a}{b + 3} が奇数

であればよい。 $1 ≦ a, b ≦ 6$ で候補を整理すると

b 123456 a 45 2, 6 1, 3, 5 なし 1, 3, 5

となり、全部で10組である。

ただし $(a, b) = (4, 1), (5, 2), (6, 3)$ では $w = - 1$ である。この場合は

z_{n} = 2 z_{n - 1} - z_{n - 2}, z_{1} = 1, z_{2} = 2

より $z_{n} = n$ となるため除く。したがって有効な出目は7組で、確率は

\frac{7}{36}

である。

解法2

(1)

d_{n} = z_{n} - z_{n - 1}

とおくと、漸化式から

d_{n} = - w (z_{n - 1} - z_{n - 2}) = - w d_{n - 1}

である。 $d_{2} = - w$ だから

d_{n} = (- w)^{n - 1}

となる。 $a = 4, b = 3$ では

- w = cos (- \frac{π}{3}) + i sin (- \frac{π}{3})

である。したがって各辺 $d_{2}, d_{3}, \dots, d_{7}$ は長さ1で、直前の辺から $- π /3$ ずつ回転する。6辺の和は0だから、解法1の図の正六角形が得られる。

(2)

$w \neq = - 1$ なら

z_{n} = z_{1} + k = 2 \sum n d_{k} = 1 + j = 1 \sum n - 1 (- w)^{j} = \frac{1 - ( - w ) ^{n}}{1 + w}

である。 $w = i$ を代入すると

z_{63} = \frac{1 - i}{1 + i} = - i

となる。

(3)

$w \neq = - 1$ では

z_{63} = 0 ⟺ w^{63} = - 1

である。これを出目36組について調べると、解法1の表にある10組を得る。そのうち $w = - 1$ となる3組では、階差が

d_{n} = d_{n - 1} = 1

となり $z_{n} = n$ だから条件を満たさない。よって確率は

\frac{10 - 3}{36} = \frac{7}{36}

である。

大阪大学 2019年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2019年度
理系数学第2問