大阪大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
$(s+t,st)=(2,\sqrt{2})$ なら、$s,t$ は$$X^2-2X+\sqrt{2}=0$$の実数解でなければならない。しかし判別式は$$4-4\sqrt{2}<0$$である。よって $(2,\sqrt{2})$ は $A$ の点ではない。

(2)
$x=s+t,y=st$ とおく。$s,t$ が実数である条件は$$x^2-4y\geqq 0,y\leqq \frac{x^2}{4}$$である。また$$s^2+t^2=x^2-2y\leqq 6$$より$$y\geqq \frac{x^2}{2}-3$$である。両立条件から $x^2\leqq 12$ も得る。したがってである。

(3) $$U=\frac{x^2}{4},L=\frac{x^2}{2}-3$$とおく。対称性により $x\geqq 0$ の体積を2倍する。

$0\leqq x\leqq 2$ では外半径が $-L$、$2\leqq x\leqq \sqrt{6}$ では外半径が $U$ である。$$\sqrt{6}\leqq x\leqq 2\sqrt{3}$$ では外半径 $U$、内半径 $L$ の輪になる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=2\pi \{}& {\displaystyle {\int }_0^2{(3-\frac{x^2}{2})}^{2}dx+{\int }_2^{\sqrt{6}}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}}[{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^2-{(\frac{x^2}{2}-3)}^2]dx\}}\end{array}$$である。各積分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^2{(3-\frac{x^2}{2})}^{2}dx}& {\displaystyle =\frac{58}{5},}\\ {\displaystyle {\int }_2^{\sqrt{6}}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^{2}dx}& {\displaystyle =\frac{9\sqrt{6}-8}{20},}\\ {\displaystyle {\int }_{\sqrt{6}}^{2\sqrt{3}}[{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^2-{(\frac{x^2}{2}-3)}^2]dx}& {\displaystyle =\frac{87\sqrt{6}}{20}-\frac{24\sqrt{3}}{5}}\end{array}$$だから$$V=\frac{16\pi }{5}(7+3\sqrt{6}-3\sqrt{3})$$となる。

$s,t$ を45度回転した座標へ移して領域を直接求める。体積は水平な円筒殻で計算し、半径 $r$ において正側・負側の水平切片が重なるかどうかを $r=1$ で分ける。

(1)
$s+t=2,st=\sqrt{2}$ を満たす実数 $s,t$ が存在するには$$X^2-2X+\sqrt{2}=0$$が実数解をもつ必要があるが、判別式が負なので存在しない。

(2) $$u=\frac{s+t}{\sqrt{2}},v=\frac{s-t}{\sqrt{2}}$$とおくと$$u^2+v^2=s^2+t^2\leqq 6$$である。また$$x=\sqrt{2}u,y=\frac{u^2-v^2}{2}$$となる。$u=x\mathrm{/}\sqrt{2}$ を固定すると$$0\leqq v^2\leqq 6-\frac{x^2}{2}$$だから$$\frac{x^2}{2}-3\leqq y\leqq \frac{x^2}{4}$$を得る。右辺が存在する条件は $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2\sqrt{3}$ であり、解法1の図の領域になる。

(3)
回転後の半径を $r\geqq 0$ とする。高さ $y=-r$ における切片は$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{6-2r}$$であり、高さ $y=r$ における切片は$$2\sqrt{r}\leqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{6+2r}$$である。$0\leqq r\leqq 1$ では両者が重なり、回転後の $x$ 方向の長さは$$2\sqrt{6+2r}$$となる。$1\leqq r\leqq 3$ では間に隙間があり、長さは$$2(\sqrt{6-2r}+\sqrt{6+2r}-2\sqrt{r})$$である。

したがって円筒殻法により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=4\pi \{}& {\displaystyle {\int }_0^{1}r\sqrt{6+2r}dr}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_1^{3}r(\sqrt{6-2r}+\sqrt{6+2r}-2\sqrt{r})dr\}}\end{array}$$である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int r\sqrt{6+2r}dr}& {\displaystyle =\frac{(6+2r{)}^{5\mathrm{/}2}}{10}-(6+2r{)}^{3\mathrm{/}2},}\\ {\displaystyle \int r\sqrt{6-2r}dr}& {\displaystyle =\frac{(6-2r{)}^{5\mathrm{/}2}}{10}-(6-2r{)}^{3\mathrm{/}2}}\end{array}$$を用いて代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{V}{4\pi }}& {\displaystyle =\frac{24\sqrt{3}+12\sqrt{6}}{5}+\frac{24}{5}-\frac{36\sqrt{3}-4}{5}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{5}(7+3\sqrt{6}-3\sqrt{3})}\end{array}$$となる。よって$$V=\frac{16\pi }{5}(7+3\sqrt{6}-3\sqrt{3})$$である。