大阪大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

実数 $s$ ， $t$ が $s^{2} + t^{2} ≦ 6$ を満たしながら変わるとき， $x y$ 平面上で点 $(s + t, s t)$ が動く領域をAとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1) $(2, 2)$ が領域Aの点かどうか判定せよ．

(2) Aを図示せよ．

(3) Aを $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

出典：大阪大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

解法1

$x = s + t, y = s t$ とおき、 $s, t$ を2次方程式の2根と見る。判別式と $s^{2} + t^{2}$ の条件から2本の放物線に挟まれた領域を得る。体積は垂直断面の外半径・内半径が変わる $x = 2, 6$ で区切る。

解法2

$s, t$ を45度回転した座標へ移して領域を直接求める。体積は水平な円筒殻で計算し、半径 $r$ において正側・負側の水平切片が重なるかどうかを $r = 1$ で分ける。

解答

解法1

(1)

$(s + t, s t) = (2, 2)$ なら、 $s, t$ は

X^{2} - 2 X + 2 = 0

の実数解でなければならない。しかし判別式は

4 - 42 < 0

である。よって $(2, 2)$ は $A$ の点ではない。

(2)

$x = s + t, y = s t$ とおく。 $s, t$ が実数である条件は

x^{2} - 4 y ≧ 0, y ≦ \frac{x ^{2}}{4}

である。また

s^{2} + t^{2} = x^{2} - 2 y ≦ 6

より

y ≧ \frac{x ^{2}}{2} - 3

である。両立条件から $x^{2} ≦ 12$ も得る。したがって

A = {(x, y) - 23 ≦ x ≦ 23, \frac{x ^{2}}{2} - 3 ≦ y ≦ \frac{x ^{2}}{4}}

である。

(3)

U = \frac{x ^{2}}{4}, L = \frac{x ^{2}}{2} - 3

とおく。対称性により $x ≧ 0$ の体積を2倍する。

$0 ≦ x ≦ 2$ では外半径が $- L$ 、 $2 ≦ x ≦ 6$ では外半径が $U$ である。 $6 ≦ x ≦ 23$ では外半径 $U$ 、内半径 $L$ の輪になる。よって

V = 2 π {\int_{0}^{2} (3 - \frac{x ^{2}}{2})^{2} d x + \int_{2}^{6} (\frac{x ^{2}}{4})^{2} d x + \int_{6}^{23} [(\frac{x ^{2}}{4})^{2} - (\frac{x ^{2}}{2} - 3)^{2}] d x}

である。各積分は

\int_{0}^{2} (3 - \frac{x ^{2}}{2})^{2} d x \int_{2}^{6} (\frac{x ^{2}}{4})^{2} d x \int_{6}^{23} [(\frac{x ^{2}}{4})^{2} - (\frac{x ^{2}}{2} - 3)^{2}] d x = \frac{58}{5}, = \frac{9 6 - 8}{20}, = \frac{87 6}{20} - \frac{24 3}{5}

だから

V = \frac{16 π}{5} (7 + 36 - 33)

となる。

解法2

(1)

$s + t = 2, s t = 2$ を満たす実数 $s, t$ が存在するには

X^{2} - 2 X + 2 = 0

が実数解をもつ必要があるが、判別式が負なので存在しない。

(2)

u = \frac{s + t}{2}, v = \frac{s - t}{2}

とおくと

u^{2} + v^{2} = s^{2} + t^{2} ≦ 6

である。また

x = 2 u, y = \frac{u ^{2} - v ^{2}}{2}

となる。 $u = x / 2$ を固定すると

0 ≦ v^{2} ≦ 6 - \frac{x ^{2}}{2}

だから

\frac{x ^{2}}{2} - 3 ≦ y ≦ \frac{x ^{2}}{4}

を得る。右辺が存在する条件は $∣ x ∣ ≦ 23$ であり、解法1の図の領域になる。

(3)

回転後の半径を $r ≧ 0$ とする。高さ $y = - r$ における切片は

∣ x ∣ ≦ 6 - 2 r

であり、高さ $y = r$ における切片は

2 r ≦ ∣ x ∣ ≦ 6 + 2 r

である。 $0 ≦ r ≦ 1$ では両者が重なり、回転後の $x$ 方向の長さは

2 6 + 2 r

となる。 $1 ≦ r ≦ 3$ では間に隙間があり、長さは

2 (6 - 2 r + 6 + 2 r - 2 r)

である。

したがって円筒殻法により

V = 4 π {\int_{0}^{1} r 6 + 2 r d r + \int_{1}^{3} r (6 - 2 r + 6 + 2 r - 2 r) d r}

である。ここで

\int r 6 + 2 r d r \int r 6 - 2 r d r = \frac{( 6 + 2 r ) ^{5/2}}{10} - (6 + 2 r)^{3/2}, = \frac{( 6 - 2 r ) ^{5/2}}{10} - (6 - 2 r)^{3/2}

を用いて代入すると

\frac{V}{4 π} = \frac{24 3 + 12 6}{5} + \frac{24}{5} - \frac{36 3 - 4}{5} = \frac{4}{5} (7 + 36 - 33)

となる。よって

V = \frac{16 π}{5} (7 + 36 - 33)

である。

大阪大学 2019年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2019年度
理系数学第3問