大阪大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

球面の中心を$$O_1=(1,1,1),O_2=(2,3,3)$$とする。2つの方程式の差から、共通円 $C$ を含む平面は$$2x+4y+4z=25$$である。法線 $(1,2,2)$ は $\overrightarrow{O_1{O}_2}$ と平行なので、この平面は中心線に垂直である。

$O_1$ から平面までの距離は$$\frac{\mathrm{\mid }2+4+4-25\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+4^2+4^2}}=\frac{5}{2}$$である。よって共通円の半径 $\rho$ は$${\rho }^2=7-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$$となる。円の中心 $H$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H}& {\displaystyle =O_1+\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{3}(1,2,2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{11}{6},\frac{8}{3},\frac{8}{3})}\end{array}$$である。

(1)
円 $C$ を通る球の中心は、$H$ を通り円の平面に垂直な直線上にある。半径が最小なのは中心が $H$ のときで、半径の2乗は $3\mathrm{/}4$ である。よって$${(x-\frac{11}{6})}^2+{(y-\frac{8}{3})}^2+{(z-\frac{8}{3})}^2=\frac{3}{4}$$である。

(2)
半径が $\sqrt{3}$ なら、球の中心と $H$ の距離は$$\sqrt{3-{\rho }^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}$$である。軸方向の単位ベクトルは $(1,2,2)\mathrm{/}3$ だから、中心は$$H\pm \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}(1,2,2)$$すなわち$$(\frac{7}{3},\frac{11}{3},\frac{11}{3}),(\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{5}{3})$$である。よって求める2球面は$${(x-\frac{7}{3})}^2+{(y-\frac{11}{3})}^2+{(z-\frac{11}{3})}^2=3$$および$${(x-\frac{4}{3})}^2+{(y-\frac{5}{3})}^2+{(z-\frac{5}{3})}^2=3$$である。

球面を左辺が0の形で $F_1=0,F_2=0$ と書く。同じ共通円をもつ球面は $F_1+t(F_2-F_1)=0$ と表せるので、中心と半径を $t$ の2次式として求め、平方完成する。

球面 $S_1,S_2$ の左辺を0に移して、それぞれ $F_1,F_2$ とする。差は$$F_2-F_1=-2x-4y-4z+25$$であり、これは共通円 $C$ を含む平面を表す。したがって、同じ共通円をもつ球面族は$$F_t=F_1+t(F_2-F_1)=0$$と表せる。係数を比べて平方完成すると、その中心 $K(t)$ と半径 $R(t)$ は$$\begin{array}{c}{\displaystyle K(t)=(1+t,1+2t,1+2t),}\\ {\displaystyle R^2(t)=9t^2-15t+7=9{(t-\frac{5}{6})}^2+\frac{3}{4}}\end{array}$$となる。

(1)
半径は $t=5\mathrm{/}6$ のとき最小である。このとき$$K\left(\frac{5}{6}\right)=(\frac{11}{6},\frac{8}{3},\frac{8}{3}),R^2\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{3}{4}$$だから、求める球面は$${(x-\frac{11}{6})}^2+{(y-\frac{8}{3})}^2+{(z-\frac{8}{3})}^2=\frac{3}{4}$$である。

(2)
$R^2(t)=3$ を解くと$$9t^2-15t+4=0,t=\frac{1}{3},t=\frac{4}{3}$$である。対応する中心は$$K\left(\frac{1}{3}\right)=(\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{5}{3}),K\left(\frac{4}{3}\right)=(\frac{7}{3},\frac{11}{3},\frac{11}{3})$$となるので、求める方程式は解法1の2式である。