大阪大学 2017年度理系数学第4問解答・解説

問題

$b, c$ を実数とする。2次関数

f (x) = - x^{2} + b x + c

が

0 ≦ f (1) ≦ 2, 5 ≦ f (3) ≦ 6

を満たすとする。

(1) $f (4)$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 放物線 $y = f (x)$ の頂点の $y$ 座標 $q$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) 放物線 $y = f (x)$ の頂点の $y$ 座標が6のとき、放物線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

出典：大阪大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

解法1

$u = f (1), v = f (3)$ とおいて，条件を長方形 $0 ≦ u ≦ 2, 5 ≦ v ≦ 6$ に変換する。 $b, c$ を $u, v$ で解き，(1)は $f (4)$ を一次式として端点で評価する。(2)は頂点の高さ $q = b^{2} /4 + c$ を $u, v$ で表し， $v$ について単調であることを使って最小・最大を調べる。(3)は文系第1問と同じ面積公式 $\frac{4}{3} q q$ を $q = 6$ に適用する。

解法2

放物線を頂点形式 $f (x) = q - (x - h)^{2}$ とおく。 $u = f (1), v = f (3)$ の差から頂点の横座標 $h$ を求め、 $q = u + (h - 1)^{2}$ として値域を調べる。(3)は高さ $y$ の水平切片を積分する。

解答

解法1

$u = f (1), v = f (3)$ とおく。条件は $0 ≦ u ≦ 2, 5 ≦ v ≦ 6$ である。また $f (1) = - 1 + b + c = u, f (3) = - 9 + 3 b + c = v$ であるから，これを解いて $b = \frac{v - u}{2} + 4, c = \frac{3 u - v}{2} - 3$ を得る。

(1)

f (4) = - 16 + 4 b + c = - 16 + 4 (\frac{v - u}{2} + 4) + (\frac{3 u - v}{2} - 3) = - \frac{1}{2} u + \frac{3}{2} v - 3

である。この式は $u$ が小さいほど大きく， $v$ が大きいほど大きい。したがって最小値は $u = 2, v = 5$ のとき $- 1 + \frac{15}{2} - 3 = \frac{7}{2}$ であり，最大値は $u = 0, v = 6$ のとき $9 - 3 = 6$ である。よって $\frac{7}{2} ≦ f (4) ≦ 6$ である。

(2)

放物線 $y = - x^{2} + b x + c$ の頂点の $y$ 座標は $q = c + \frac{b ^{2}}{4}$ である。上で求めた $b, c$ を代入すると $q = \frac{( v - u + 4 ) ^{2}}{16} + u$ である。

ここで $0 ≦ u ≦ 2$ ， $5 ≦ v ≦ 6$ では $v - u + 4 > 0$ であるから， $u$ を固定すると $q$ は $v$ について増加する。よって最小値は $v = 5$ で，最大値は $v = 6$ で調べればよい。 $v = 5$ のとき $q = \frac{( 9 - u ) ^{2}}{16} + u = 5 + \frac{( u - 1 ) ^{2}}{16}$ であるから， $0 ≦ u ≦ 2$ における最小値は $u = 1$ で $5$ である。 $v = 6$ のとき $q = \frac{( 10 - u ) ^{2}}{16} + u = 6 + \frac{( u - 2 ) ^{2}}{16}$ であるから， $0 ≦ u ≦ 2$ における最大値は $u = 0$ で $\frac{25}{4}$ である。したがって $5 ≦ q ≦ \frac{25}{4}$ である。

(3)

頂点の $x$ 座標を $h$ とすると，頂点の $y$ 座標が6である放物線は $y = 6 - (x - h)^{2}$ と書ける。 $x$ 軸との交点は $x = h \pm 6$ であり，囲まれた部分の面積は $\int_{h - 6}^{h + 6} {6 - (x - h)^{2}} d x$ である。 $X = x - h$ とおくと

S = \int_{- 6}^{6} (6 - X^{2}) d X = 2 (66 - \frac{( 6 ) ^{3}}{3}) = 86

である。

解法2

放物線を

f (x) = q - (x - h)^{2}

と書き、

u = f (1), v = f (3)

とおく。条件は

0 ≦ u ≦ 2, 5 ≦ v ≦ 6

である。

(1)

v - u = {q - (3 - h)^{2}} - {q - (1 - h)^{2}} = 4 (h - 2)

だから

2 h = 4 + \frac{v - u}{2} .

また

f (4) - f (3) = - 7 + 2 h

なので

f (4) = v - 7 + 2 h = - \frac{1}{2} u + \frac{3}{2} v - 3.

これは $u$ について減少し、 $v$ について増加する。よって

\frac{7}{2} ≦ f (4) ≦ 6.

(2)

上の差の式から

h = 2 + \frac{v - u}{4} .

したがって

q = u + (h - 1)^{2} = u + \frac{( v - u + 4 ) ^{2}}{16} .

$u$ を固定すると $v - u + 4 > 0$ なので、 $q$ は $v$ とともに増加する。

最小値は $v = 5$ として

q = 5 + \frac{( u - 1 ) ^{2}}{16}

より $u = 1$ のとき $5$ 。最大値は $v = 6$ として

q = 6 + \frac{( u - 2 ) ^{2}}{16}

より $u = 0$ のとき $25/4$ である。したがって

5 ≦ q ≦ \frac{25}{4} .

(3)

頂点の高さが6なら

f (x) = 6 - (x - h)^{2} .

高さ $y$ における図形の横幅は

2 6 - y .

よって

S = \int_{0}^{6} 2 6 - y d y = [\frac{4}{3} (6 - y)^{3/2}]_{y = 6}^{y = 0} = \frac{4}{3} \cdot 66 = 86 .

大阪大学 2017年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2017年度
理系数学第4問