大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$u=f(1),v=f(3)$ とおく。条件は $$0\leqq u\leqq 2,5\leqq v\leqq 6$$ である。また $$f(1)=-1+b+c=u,f(3)=-9+3b+c=v$$ であるから，これを解いて $$b=\frac{v-u}{2}+4,c=\frac{3u-v}{2}-3$$ を得る。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(4)}& {\displaystyle =-16+4b+c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-16+4(\frac{v-u}{2}+4)+(\frac{3u-v}{2}-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{2}u+\frac{3}{2}v-3}\end{array}$$である。この式は$u$が小さいほど大きく，$v$が大きいほど大きい。したがって最小値は$u=2,v=5$のとき $$-1+\frac{15}{2}-3=\frac{7}{2}$$ であり，最大値は$u=0,v=6$のとき $9-3=6$ である。よって $\frac{7}{2}\leqq f(4)\leqq 6$ である。

(2)
放物線$y=-x^2+bx+c$の頂点の$y$座標は $$q=c+\frac{b^2}{4}$$ である。上で求めた$b,c$を代入すると $$q=\frac{(v-u+4{)}^2}{16}+u$$ である。

ここで$0\leqq u\leqq 2$，$5\leqq v\leqq 6$では$v-u+4>0$であるから，$u$を固定すると$q$は$v$について増加する。よって最小値は$v=5$で，最大値は$v=6$で調べればよい。 $v=5$のとき $$q=\frac{(9-u{)}^2}{16}+u=5+\frac{(u-1{)}^2}{16}$$ であるから，$0\leqq u\leqq 2$における最小値は$u=1$で $5$ である。 $v=6$のとき $$q=\frac{(10-u{)}^2}{16}+u=6+\frac{(u-2{)}^2}{16}$$ であるから，$0\leqq u\leqq 2$における最大値は$u=0$で $\frac{25}{4}$ である。したがって $$5\leqq q\leqq \frac{25}{4}$$ である。

(3)
頂点の$x$座標を$h$とすると，頂点の$y$座標が6である放物線は $y=6-(x-h{)}^2$ と書ける。$x$軸との交点は$x=h\pm \sqrt{6}$であり，囲まれた部分の面積は ${\int }_{h-\sqrt{6}}^{h+\sqrt{6}}\{6-(x-h{)}^2\}dx$ である。$X=x-h$とおくと$$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}(6-X^2)dX=2(6\sqrt{6}-\frac{(\sqrt{6}{)}^3}{3})=8\sqrt{6}$$である。

放物線を頂点形式 $f(x)=q-(x-h{)}^2$ とおく。$u=f(1),v=f(3)$ の差から頂点の横座標 $h$ を求め、$q=u+(h-1{)}^2$ として値域を調べる。(3)は高さ $y$ の水平切片を積分する。

放物線を$$f(x)=q-(x-h{)}^2$$と書き、$$u=f(1),v=f(3)$$とおく。条件は$$0\leqq u\leqq 2,5\leqq v\leqq 6$$である。

(1) $$v-u=\{q-(3-h{)}^2\}-\{q-(1-h{)}^2\}=4(h-2)$$だから$$2h=4+\frac{v-u}{2}\mathrm{.}$$また$$f(4)-f(3)=-7+2h$$なので$$f(4)=v-7+2h=-\frac{1}{2}u+\frac{3}{2}v-3.$$これは $u$ について減少し、$v$ について増加する。よって$$\frac{7}{2}\leqq f(4)\leqq 6.$$(2)
上の差の式から$$h=2+\frac{v-u}{4}\mathrm{.}$$したがって$$q=u+(h-1{)}^2=u+\frac{(v-u+4{)}^2}{16}\mathrm{.}$$$u$ を固定すると $v-u+4>0$ なので、$q$ は $v$ とともに増加する。

最小値は $v=5$ として$$q=5+\frac{(u-1{)}^2}{16}$$より $u=1$ のとき $5$。最大値は $v=6$ として$$q=6+\frac{(u-2{)}^2}{16}$$より $u=0$ のとき $25\mathrm{/}4$ である。したがって$$5\leqq q\leqq \frac{25}{4}\mathrm{.}$$(3)
頂点の高さが6なら$$f(x)=6-(x-h{)}^2\mathrm{.}$$高さ $y$ における図形の横幅は$$2\sqrt{6-y}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{6}2\sqrt{6-y}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{4}{3}(6-y{)}^{3\mathrm{/}2}]}_{y=6}^{y=0}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}\cdot 6\sqrt{6}=8\sqrt{6}\mathrm{.}}\end{array}$$