大阪大学 2020年度
理系数学 第5問

解答

解法1（ヘロンの公式で高さを辺の式にする）

辺の長さを $BC=a,CA=b,AB=c$ とおく。周の長さが2であるから $a+b+c=2$ であり、三角形の成立条件より $0<a<1,0<b<1,0<c<1$ である。例えば $a<b+c=2-a$ より $a<1$ であり、他も同様である。

(1)

体積の式点Aから直線BCへ下ろした高さを $h$ とする。三角形ABCを辺BCのまわりに回転すると、各位置での断面は半径が高さに比例して変わる円となり、体積は底辺 $a$、最大半径 $h$ の円すい型の和または差として $V=\frac{1}{3}\pi a{h}^2$ で表される。点Aの垂線の足が辺BCの外側に出る場合も、2つの円すいの差として同じ式になる。

三角形の面積を $\Delta$ とすると $\Delta =\frac{1}{2}ah$ である。また半周長が1なので、ヘロンの公式より ${\Delta }^2=1(1-a)(1-b)(1-c)=(1-a)(1-b)(1-c)$ である。したがって $h^2=\frac{4{\Delta }^2}{a^2}=\frac{4(1-a)(1-b)(1-c)}{a^2}$ となり、体積は $V=\frac{4\pi (1-a)(1-b)(1-c)}{3a}$ である。

(2)

最大値 $a$ を固定する。このとき $b+c=2-a$ であるから $(1-b)+(1-c)=2-(b+c)=a$ である。$1-b>0$、$1-c>0$ であり、和が $a$ で一定なので、積 $(1-b)(1-c)$ は $1-b=1-c=\frac{a}{2}$ すなわち $b=c=1-\frac{a}{2}$ のとき最大となる。このとき $(1-b)(1-c)\leqq {\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ であるから、(1)の式より $V\leqq \frac{4\pi (1-a)}{3a}\cdot \frac{a^2}{4}=\frac{\pi }{3}a(1-a)$ である。

あとは $0<a<1$ で $a(1-a)=-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$ を最大化すればよい。最大は $a=\frac{1}{2}$ のときで、その値は $\frac{1}{4}$ である。したがって体積の最大値は $\frac{\pi }{12}$ である。

等号条件は $a=\frac{1}{2},b=c=1-\frac{a}{2}=\frac{3}{4}$ である。すなわち、$BC=\frac{1}{2}$、$CA=AB=\frac{3}{4}$ の二等辺三角形のとき最大となる。

解法2（頂点の楕円軌跡から高さを最大化する）

(1)

辺 $BC=a$ を固定し、$CA=b$、$AB=c$ とする。周長条件から

である。したがって頂点Aの軌跡は、B、Cを焦点とし、焦点からの距離の和が $2-a$ である楕円の上半分である。

この楕円の長半径を $p$、焦点距離を $d$、短半径を $q$ とすると

である。よって

Aから直線BCまでの高さを $h$ とすれば

であり、等号はAが楕円の短軸端、すなわち $b=c$ のときに成り立つ。三角形をBCのまわりに回転した体積は

だから、固定した $a$ に対して

であり、等号は辺BCを底辺とする二等辺三角形のときである。これで (1) が示された。

(2)

三角形の成立条件から $0<a<1$ である。この範囲で

だから

のとき最大となる。したがって

また等号条件から

である。ゆえに最大値を与える値は

である。