大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

辺の長さを $$BC=a,CA=b,AB=c$$ とおく。周の長さが2であるから $a+b+c=2$ であり、三角形の成立条件より $$0<a<1,0<b<1,0<c<1$$ である。例えば $a<b+c=2-a$ より $a<1$ であり、他も同様である。

(1)
体積の式
点Aから直線BCへ下ろした高さを $h$ とする。三角形ABCを辺BCのまわりに回転すると、各位置での断面は半径が高さに比例して変わる円となり、体積は底辺 $a$、最大半径 $h$ の円すい型の和または差として $V=\frac{1}{3}\pi a{h}^2$ で表される。点Aの垂線の足が辺BCの外側に出る場合も、2つの円すいの差として同じ式になる。

三角形の面積を $\mathrm{\Delta }$ とすると $\mathrm{\Delta }=\frac{1}{2}ah$ である。また半周長が1なので、ヘロンの公式より $${\mathrm{\Delta }}^2=1(1-a)(1-b)(1-c)=(1-a)(1-b)(1-c)$$ である。したがって $$h^2=\frac{4{\mathrm{\Delta }}^2}{a^2}=\frac{4(1-a)(1-b)(1-c)}{a^2}$$ となり、体積は $${\displaystyle V=\frac{4\pi (1-a)(1-b)(1-c)}{3a}}$$ である。

(2)
最大値 $a$ を固定する。このとき $b+c=2-a$ であるから $(1-b)+(1-c)=2-(b+c)=a$ である。$1-b>0$、$1-c>0$ であり、和が $a$ で一定なので、積 $(1-b)(1-c)$ は $$1-b=1-c=\frac{a}{2}$$ すなわち $$b=c=1-\frac{a}{2}$$ のとき最大となる。このとき $$(1-b)(1-c)\leqq {\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$ であるから、(1)の式より $$V\leqq \frac{4\pi (1-a)}{3a}\cdot \frac{a^2}{4}=\frac{\pi }{3}a(1-a)$$ である。

あとは $0<a<1$ で $$a(1-a)=-{(a-\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{4}$$ を最大化すればよい。最大は $a=\frac{1}{2}$ のときで、その値は $\frac{1}{4}$ である。したがって体積の最大値は ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ である。

等号条件は $$a=\frac{1}{2},b=c=1-\frac{a}{2}=\frac{3}{4}$$ である。すなわち、$BC=\frac{1}{2}$、$CA=AB=\frac{3}{4}$ の二等辺三角形のとき最大となる。

辺 $BC=a$ を固定すると、頂点Aは2焦点B、Cからの距離の和が $2-a$ の楕円上を動く。楕円の短半径がAから直線BCまでの高さの最大値なので、二等辺三角形が等号条件になる。体積を $V=\pi a{h}^2\mathrm{/}3$ として最後は $a(1-a)$ を最大化する。

(1)
辺 $BC=a$ を固定し、$CA=b$、$AB=c$ とする。周長条件から$$b+c=2-a$$である。したがって頂点Aの軌跡は、B、Cを焦点とし、焦点からの距離の和が $2-a$ である楕円の上半分である。

この楕円の長半径を $p$、焦点距離を $d$、短半径を $q$ とすると$$p=\frac{2-a}{2}=1-\frac{a}{2},d=\frac{a}{2}$$である。よって$$q^2=p^2-d^2={(1-\frac{a}{2})}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=1-a\mathrm{.}$$Aから直線BCまでの高さを $h$ とすれば$$h\leqq q=\sqrt{1-a}$$であり、等号はAが楕円の短軸端、すなわち $b=c$ のときに成り立つ。三角形をBCのまわりに回転した体積は$$V=\frac{1}{3}\pi a{h}^2$$だから、固定した $a$ に対して$$V\leqq \frac{\pi }{3}a(1-a)$$であり、等号は辺BCを底辺とする二等辺三角形のときである。これで (1) が示された。

(2)
三角形の成立条件から $0<a<1$ である。この範囲で$$a(1-a)=\frac{1}{4}-{(a-\frac{1}{2})}^2$$だから$$a=\frac{1}{2}$$のとき最大となる。したがって$$V_{\max }=\frac{\pi }{12}\mathrm{.}$$また等号条件から$$b=c=1-\frac{a}{2}=\frac{3}{4}$$である。ゆえに最大値を与える値は$$a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{4}$$である。