大阪大学 2017年度
理系数学 第1問

解答

解法1

双曲線$x^2-y^2=1$の点$(u,v)$における接線は $ux-vy=1$ である。実際，$(u,v)$は$u^2-v^2=1$を満たし，この直線はその点を通る接線になっている。なお$C(s,t)$については$s^2-t^2=1$かつ$t\ne 0$であるから，$s\ne 0,\pm 1$である。

(1)

点$A(-1,0)$における接線は $-x=1$ すなわち$x=-1$である。直線$BC$は$B(1,0)$と$C(s,t)$を通るので $y=\frac{t}{s-1}(x-1)$ である。ここに$x=-1$を代入して $y=\frac{t}{s-1}(-2)=\frac{2t}{1-s}$ を得る。したがって $P=\left(-1,\frac{2t}{1-s}\right)$ である。

(2)

点$C(s,t)$における接線は $sx-ty=1$ である。直線$AB$は$y=0$だから，交点$Q$は $sx=1$ を満たす。よって $Q=\left(\frac{1}{s},0\right)$ である。

(3)

点$B(1,0)$における接線は $x=1$ である。直線$AC$は$A(-1,0)$と$C(s,t)$を通るので $y=\frac{t}{s+1}(x+1)$ である。したがって$x=1$を代入して $R=\left(1,\frac{2t}{s+1}\right)$ を得る。

直線$PR$の傾きは

である。したがって直線$PR$は $y-\frac{2t}{1-s}=-\frac{2st}{(s+1)(1-s)}(x+1)$ と書ける。この式に$x=\frac{1}{s}$を代入すると

である。これは$Q\left(\frac{1}{s},0\right)$が直線$PR$上にあることを示している。よって3点$P,Q,R$は一直線上にある。

解法2

双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点 $(u,v)$ における接線は

である。また $s^2-t^2=1,t\ne 0$ より

(1)

$A(-1,0)$ における接線は $x=-1$ である。直線 $BC$ は

だから

(2)

$C(s,t)$ における接線は

直線 $AB$ は $y=0$ なので

(3)

$B(1,0)$ における接線は $x=1$ である。直線 $AC$ は

だから

ここで

であり

それぞれの成分を比べると

であり、また

したがって

よって $P,Q,R$ は一直線上にある。