大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

双曲線$x^2-y^2=1$の点$(u,v)$における接線は $ux-vy=1$ である。実際，$(u,v)$は$u^2-v^2=1$を満たし，この直線はその点を通る接線になっている。なお$C(s,t)$については$s^2-t^2=1$かつ$t\mathrm{\ne }0$であるから，$s\mathrm{\ne }0,\pm 1$である。

(1)
点$A(-1,0)$における接線は $-x=1$ すなわち$x=-1$である。直線$BC$は$B(1,0)$と$C(s,t)$を通るので $$y=\frac{t}{s-1}(x-1)$$ である。ここに$x=-1$を代入して $$y=\frac{t}{s-1}(-2)=\frac{2t}{1-s}$$ を得る。したがって $$P=(-1,\frac{2t}{1-s})$$ である。

(2)
点$C(s,t)$における接線は $sx-ty=1$ である。直線$AB$は$y=0$だから，交点$Q$は $sx=1$ を満たす。よって $$Q=(\frac{1}{s},0)$$ である。

(3)
点$B(1,0)$における接線は $x=1$ である。直線$AC$は$A(-1,0)$と$C(s,t)$を通るので $$y=\frac{t}{s+1}(x+1)$$ である。したがって$x=1$を代入して $$R=(1,\frac{2t}{s+1})$$ を得る。

直線$PR$の傾きは$$\frac{\frac{2t}{s+1}-\frac{2t}{1-s}}{1-(-1)}=\frac{t}{1}(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{1-s})=-\frac{2st}{(s+1)(1-s)}$$である。したがって直線$PR$は $$y-\frac{2t}{1-s}=-\frac{2st}{(s+1)(1-s)}(x+1)$$ と書ける。この式に$x=\frac{1}{s}$を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& {\displaystyle =\frac{2t}{1-s}-\frac{2st}{(s+1)(1-s)}(\frac{1}{s}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2t}{1-s}-\frac{2st}{(s+1)(1-s)}\cdot \frac{s+1}{s}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$$である。これは$Q(\frac{1}{s},0)$が直線$PR$上にあることを示している。よって3点$P,Q,R$は一直線上にある。

各接線の式から $P,Q,R$ の座標を求めるところまでは同じである。一直線性は傾きの式を作らず、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{QR}$ の各成分の比が同じになることを示す。縦線の場合分けが不要になる。

双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点 $(u,v)$ における接線は$$ux-vy=1$$である。また $s^2-t^2=1,t\mathrm{\ne }0$ より$$s\mathrm{\ne }0,s\mathrm{\ne }\pm 1.$$(1)
$A(-1,0)$ における接線は $x=-1$ である。直線 $BC$ は$$y=\frac{t}{s-1}(x-1)$$だから$$P=(-1,\frac{2t}{1-s})\mathrm{.}$$(2)
$C(s,t)$ における接線は$$sx-ty=1.$$直線 $AB$ は $y=0$ なので$$Q=(\frac{1}{s},0)\mathrm{.}$$(3)
$B(1,0)$ における接線は $x=1$ である。直線 $AC$ は$$y=\frac{t}{s+1}(x+1)$$だから$$R=(1,\frac{2t}{s+1})\mathrm{.}$$ここで$$\overrightarrow{PQ}=(\frac{s+1}{s},-\frac{2t}{1-s})$$であり$$\overrightarrow{QR}=(\frac{s-1}{s},\frac{2t}{s+1})\mathrm{.}$$それぞれの成分を比べると$$\frac{(\overrightarrow{QR}{)}_x}{(\overrightarrow{PQ}{)}_x}=\frac{s-1}{s+1}$$であり、また$$\frac{(\overrightarrow{QR}{)}_y}{(\overrightarrow{PQ}{)}_y}=\frac{\frac{2t}{s+1}}{-\frac{2t}{1-s}}=\frac{s-1}{s+1}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{QR}=\frac{s-1}{s+1}\overrightarrow{PQ}\mathrm{.}$$よって $P,Q,R$ は一直線上にある。