問題
正の実数に対し，座標平面上の2点とを考える．がの範囲を動くとき，座標平面内で線分が通過する部分を図示せよ．
方針
解法1
固定した について線分 を ， と表す。通過領域を調べるには， を固定して，条件 と を満たす の範囲で の値域を求める。 は上に凸の二次関数で，頂点 と端点の大小により， で上下端が切り替わる。最後に境界線・曲線を明示して図示できる形にまとめる。
解法2（直線族の包絡線）
線分を含む直線族 とみなし， に関する接触条件から包絡線を求める。包絡線が有効な範囲と，端の直線 ，端点 が動く 軸をつなぐ。下側境界は端点直線の大小比較で切り替わるため，包絡線だけで終えないことが重要である。
解答
解法1
固定した に対し，点 を結ぶ線分の方程式は である。したがって点 が通過部分に入ることは，ある が存在して を満たすことと同値である。 を固定して考える。 の範囲は，全体として である。
まず のときは，任意の について が成り立つ。よって の範囲は である。関数 は上に凸の二次関数で，頂点は である。 では頂点が 側にあるので， は で増加する。したがって である。 では頂点が の範囲に入るので，最大値は頂点で である。最小値は端点 または の小さい方で決まる。端点値は であり，これらは で等しい。よって である。
次に のときは，条件 より である。この範囲では頂点 は 以下にあるので， は減少する。したがって最大値は ，最小値は であり， である。
以上より，通過部分は次の領域である。
境界は，直線 曲線 および 軸で構成される。
解法2（直線族の包絡線）
固定した に対する線分は
である。この直線族を
と表す。
包絡線上では
が同時に成り立つ。したがって
ただし より，この包絡線が上側境界になる範囲は
である。
この範囲の外では，上側境界は端の直線で決まる。すなわち
また，下側境界では2直線の大小が
で入れ替わる。さらに では条件 により となり，線分の端点 が下側境界，すなわち 軸を作る。
よって通過領域は
